Một quả bóng được đá lên từ độ cao $1{,}5$ mét so với mặt đất. Biết quỹ đạo của quả bóng là một đường parabol trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ có phương trình $h = at^2 + bt + c$ ($a < 0$), trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên và $h$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Biết rằng sau $2$ giây thì nó đạt độ cao $5$ m; sau $4$ giây nó đạt độ cao $4{,}5$ m. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của thời gian $t$ trong khoảng thời gian mà quả bóng có độ cao lớn hơn $1{,}5$ mét so với mặt đất.

Theo giả thiết, từ các dữ kiện của bài toán ta có hệ phương trình sau: $\begin{cases} h(0) = \frac{3}{2} \\ h(2) = 5 \\ h(4) = \frac{9}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = \frac{3}{2} \\ 4a + 2b + c = 5 \\ 16a + 4b + c = \frac{9}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -\frac{1}{2} \\ b = \frac{11}{4} \\ c = \frac{3}{2} \end{cases}$. Suy ra phương trình quỹ đạo độ cao của quả bóng là: $h(t) = -\frac{1}{2}t^2 + \frac{11}{4}t + \frac{3}{2}$. Quả bóng có độ cao lớn hơn $1{,}5$ mét khi và chỉ khi: $h(t) > 1{,}5 \Leftrightarrow -\frac{1}{2}t^2 + \frac{11}{4}t + \frac{3}{2} > 1{,}5 \Leftrightarrow -\frac{1}{2}t^2 + \frac{11}{4}t > 0 \Leftrightarrow 0 < t < \frac{11}{2}$. Vì $\frac{11}{2} = 5{,}5$ nên khoảng thời gian thỏa mãn yêu cầu là $t \in (0; 5{,}5)$. Vậy giá trị nguyên lớn nhất của thời gian $t$ trong khoảng này là $5$ (giây).