An muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. An chỉ có đủ vật liệu làm $ 30m $ hàng rào nhưng muốn diện tích vườn hoa ít nhất là $ 50m ^ { 2 } $, khi đó chiều rộng của vườn hoa thuộc đoạn $ \left[ m,\,n \right] $ với $ n-m $ lớn nhất. Tính giá trị $ m+2n $.

Giả sử chiều rộng của vườn hoa là x và chiều dài là y với $ \left ( { x,y≥0 } \right ) $thì theo dữ liệu đề bài ta có $ 2(x+y)=30\,\,(1) $ và $ x.y≥50\,\,(2) $ Từ $ ⇒x+y=15⇒y=15-x $. Thay vào ta có: $ x $. $ (15-x)≥50⇒ $ $ -x ^ { 2 } +15x-50≥0 $ Xét tam thức bậc hai một ẩn $ f(x)=-x ^ { 2 } +15x-50 $ ta có: $ Δ= $ $ 15 ^ { 2 } -4(-1)(-50)=25>0 $ nên $ f(x) $ có hai nghiệm phân biệt $ \left[ \begin{array}{l} x_{ 1 } =10 \\ x_{ 2 } =5 \end{array} \right. $ Và có $ a=-1 < 0 $ nên $ f(x)≥0 $ khi $ x∈\left[ 5;10 \right] $ Ngoài ra, do chiểu dài $ ≥ $chiều rộng nên $ y≥x\,⇒15-x≥x\,⇒x≤\frac { 15 } { 2 } $ Vậy $ x∈\left[ 5;\frac { 15 } { 2 } \right] $ Vậy $ m\,=5\,\,,n=\frac { 15 } { 2 }\,\, $. Nên $ m+2n\,=\,20 $