(Cụm trường THPT Hải Dương 2025) Một chiếc cổng hình Parabol có chiều cao $9 \text{ m}$, khoảng cách giữa hai chân cổng là $6 \text{ m}$. Để vận chuyển thùng hàng hình chữ nhật qua cổng, người ta dùng một xe kéo có chiều cao $1 \text{ m}$. Biết rằng mặt cắt của thùng hàng qua cổng là hình chữ nhật, hỏi diện tích hình chữ nhật đó lớn nhất là bao nhiêu $\text{ m}^{2}$ để xe chở thùng hàng có thể đi qua được cổng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Lời giải Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ với đỉnh parabol tại $(0; 9)$ và chân cổng tại $(\pm 3; 0)$. Phương trình parabol: $y = -x^{2} + 9$. Gọi hình chữ nhật có các đỉnh trên parabol là $P(a; -a^{2}+9)$ và $P'(-a; -a^{2}+9)$. Vì xe có chiều cao $1 \text{ m}$, nên chiều cao thùng hàng là $h = -a^{2} + 9 - 1 = -a^{2} + 8$. Chiều rộng thùng hàng là $w = 2a$. Diện tích hình chữ nhật: $$ S(a) = 2a(-a^{2} + 8) = -2a^{3} + 16a $$ Ta có $S'(a) = -6a^{2} + 16$. Cho $S'(a) = 0 \Rightarrow a = \sqrt{\frac{16}{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$. Diện tích lớn nhất: $$ S_{\max} = S\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right) = -2\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^{3} + 16\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{64\sqrt{6}}{9} \approx 17,4 \text{ m}^{2}. $$