(Sở Quảng Bình 2025) Người ta muốn lắp một ống dẫn dầu từ nhà máy lọc dầu ở vị trí $ A $ đến kho chứa dầu đặt ở vị trí $ B $ qua một con sông rộng $ 2 $km, dài $ 6 $km. Chi phí lắp đặt đường ống dẫn dầu trên mặt đất để nối từ nhà máy lọc dầu đến trạm trung chuyển tại vị trí $ P $ là $ 4 $tỷ VNĐ/$ 1 $km và chi phí lắp đặt đường ống dẫn dầu dưới dòng sông để nối từ $ P $ đến kho chứa dầu tại vị trí $ B $ là $ 8 $tỷ VNĐ/$ 1 $km (như hình vẽ) Hỏi chi phí lắp đặt ít nhất, cần đặt vị trí $ P $ cách nhà máy lọc dầu là bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Đặt $ AP=x $ ($ 0\leq x\leq 6 $, km). Khi đó, chiều dài quãng đường $ PK=6-x $. Tổng chi phí lắp đặt đường ống dẫn dầu là: $ T=4x+8\sqrt[] { \left ( { 6-x } \right ) ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } $. Ta có $ T'\left ( { x } \right )=4+8\frac { x-6 } { \sqrt[] { x ^ { 2 } -12x+40 } } $; $ T'\left ( { x } \right )=0⇔4\sqrt[] { x ^ { 2 } -12x+40 }+8x-48=0 $ $ ⇔\sqrt[] { x ^ { 2 } -12x+40 }=12-2x\left ( { ÐK:0 < x\leq 6 } \right ) $ $ ⇔3x ^ { 2 } -36x+104=0⇔x=\frac { 18±2\sqrt[] { 3 } } { 3 } $ Kết hợp đk ta thấy: $ x=\frac { 18-2\sqrt[] { 3 } } { 3 }≈4,85 $ là nghiệm của pt. $ T'\left ( { x } \right ) < 0⇔4\sqrt[] { x ^ { 2 } -12x+40 }+8x-48 < 0 $ $ ⇔\sqrt[] { x ^ { 2 } -12x+40 } < 12-2x $ $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 12-2x>0 \\ x ^ { 2 } -12x+40 < 144-48x+4x ^ { 2 } \\ \end{array} \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 0 < x < 6 \\ 3x ^ { 2 } -36x+104>0 \\ \end{array} \end{array} \right. $ $ ⇔0 < x < \frac { 18-2\sqrt[] { 3 } } { 3 }≈4,85 $ Từ đó suy ra hàm số $ T(x) $ nghịch biến trên $ (0;4,85) $ và đồng biến trên $ (4,85;6) $, do đó $ T(x) $ đạt giá trị nhỏ nhất tại $ x=\frac { 18-2\sqrt[] { 3 } } { 3 }≈4,85 $. Vậy cần đặt vị trí $ P $ cách nhà máy lọc dầu khoảng $ 4,85 $ km thì chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.