(Liên Trường Nghệ An 2025) Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều dài $25 \text{ m}$, chiều rộng $15,5 \text{ m}$ và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính $10 \text{ m}$. Hoa thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng $AC$ rồi bơi tiếp đoạn thẳng $CM$, với $M$ là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Sau đó bạn đi bộ qua điểm $D$ dọc bờ hồ bơi để quay lại vị trí $A$. Biết vận tốc bơi là $2,4 \text{ km/h}$, vận tốc đi bộ là $4,8 \text{ km/h}$. Hỏi thời gian lớn nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Lời giải Đổi đơn vị: $v_{\text{bơi}} = 2,4 \text{ km/h} = \frac{2}{3} \text{ m/s}$, $v_{\text{đi}} = 4,8 \text{ km/h} = \frac{4}{3} \text{ m/s}$. Tổng thời gian $T = \frac{AC + CM}{2/3} + \frac{\overset{\frown}{MD} + DE + EA}{4/3} = \frac{3}{2}(AC+CM) + \frac{3}{4}(\overset{\frown}{MD} + DE + EA)$. Đặt $\widehat{MCD} = \alpha \in (0; \frac{\pi}{2})$. Ta có $CM = 10\cos\alpha$ và $\overset{\frown}{MD} = 10\alpha$. Hàm số cần tối ưu: $$ f(\alpha) = \frac{3}{2}(10\cos\alpha) + \frac{3}{4}(10\alpha) = 15\cos\alpha + 7,5\alpha $$ Đạo hàm $f'(\alpha) = -15\sin\alpha + 7,5$. Cho $f'(\alpha) = 0 \Rightarrow \sin\alpha = 0,5 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{6}$. Giá trị lớn nhất đạt được tại $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Tính toán tổng thời gian $T \approx 83,9$ giây $\approx 1,4$ phút.