Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy, $cho tam giác $ ABC $ với $ A\left ( { 1\,;\,-2 } \right ), $ đường cao $ CH:x-y+1=0, $ phân giác trong $ BN:2x+y+5=0. $

a) Đúng. Đường cao $ CH:x-y+1=0 $ nên có một vectơ pháp tuyến là $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 1;-1 } \right ) $. b) Sai. Ta có $ AB⊥CH:x-y+1=0⇒AB:x+y+c=0, $ Lại có$ AB $ qua $ A\left ( { 1\,;\,-2 } \right ) $ $ ⇒c=1. $ Vậy phương trình đường thẳng $ AB:x+y+1=0. $ c) Đúng. Do $ AI⊥BN:2x+y+5=0⇒AI:x-2y+m=0, $ $ AI $ qua $ A\left ( { 1\,;\,-2 } \right ) $ $ ⇒m=-5. $ Suy ra $ AI:x-2y-5=0. $ Ta có $ I=AI∩BN⇒ $ Tọa độ điểm $ I $ là nghiệm của hệ $ \left \{ \begin{array}{l} x-2y-5=0 \\ 2x+y+5=0 \end{array} \right.⇒I\left ( { -1\,;\,-3 } \right ). $ d) Đúng. Phương trình đường thẳng $ AB:x+y+1=0. $ Ta có $ B=AB∩BN $ nên tọa độ $ B $ là nghiệm của hệ $ \left \{ \begin{array}{l} x+y+1=0 \\ 2x+y+5=0 \end{array} \right. $ $ ⇒B\left ( { -4\,;\,3 } \right ). $ Gọi $ A' $ là điểm đối xứng của $ A $ qua $ BN $ (ta có $ I $ là trung điểm của $ AA' $ và $ A'∈BC $) $ I $ là trung điểm của $ AA'⇒A'\left ( { -3\,;\,-4 } \right ). $ Đường $ BC $ qua $ B\left ( { -4\,;\,3 } \right ) $ nhận $ \overset\rightarrow { A'B }=\left ( { -1\,;\,7 } \right ) $ làm VTCP có dạng$ \frac { x+4 } { -1 }=\frac { y-3 } { 7 }⇔7x+y+25=0. $ Ta có $ C=BC∩CH⇒ $ Tọa độ điểm $ C $ là nghiệm của hệ $ \left \{ \begin{array}{l} 7x+y+25=0 \\ x-y+1=0 \end{array} \right.⇒C\left ( { \frac { -13 } { 4 }\,;\,\frac { -9 } { 4 } } \right ). $ Ta có $ S_{ ΔABC } =\frac { 1 } { 2 }.BC.d\left ( { A,BC } \right )=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 15\sqrt[] { 2 } } { 4 }.\frac { \left | { 7.1-2+25 } \right | } { \sqrt[] { 49+1 } }=\frac { 45 } { 4 } $ (đvdt).