Một chiếc cổng hình parabol có chiều cao $ 4m $và chiều ngang $ 8m $. Người ta muốn thiết kế một cánh cổng bằng kính hình chữ nhật đặt ngay giữa cổng parabol đồng thời làm hai cánh cửa phụ hai bên. Nếu muốn chiều cao của phần cổng hình chữ nhật trong khoảng từ $ 1,75\,m $ đến $ 3m $ thì chiều ngang của cánh cổng là đoạn $ CD $thuộc đoạn $ \left[ m;n \right] $ với $ n-m $ lớn nhất. Tính $ m+n $

Gắn hệ trục tọa độ $ Oxy $ như hình vẽ, chiếc cổng là 1 phần của parabol $ \left ( { P } \right ) $: $ y=ax ^ { 2 } +bx+c $ với $ a < 0 $. Do parabol $ \left ( { P } \right ) $ đối xứng qua trục tung nên có trục đối xứng $ x=0⇒-\frac { b } { 2a }=0⇔b=0 $. Chiều cao của cổng parabol là 4m nên $ G\left ( { 0;4 } \right ) $ $ ⇒c=4 $. Do đó, $ \left ( { P } \right ):y=ax ^ { 2 } +4 $ Do chiều ngang cổng parabol là $ 8m $ nên toạ độ điểm $ B\left ( { 4;0 } \right ) $. Suy ra: $ a=-\frac { 4 } { 16 }=-\frac { 1 } { 4 } $. Vậy $ \left ( { P } \right ) $: $ y=-\frac { 1 } { 4 }x ^ { 2 } +4 $. Để cánh cổng hình chữ nhật có chiều cao từ $ 1,75\,m $ đến $ 3m $thì $ 1,75≤-\frac { 1 } { 4 }x ^ { 2 } +4≤3 $. Xét đồ thị hàm số $ y=-\frac { 1 } { 4 }x ^ { 2 } +4 $ với $ x≥0 $ tại $ y=1,75 $ và $ y=3 $ như hình vẽ trên ta có $ 2≤x_{ D } ≤3⇒2≤OD≤3⇒4≤CD≤6 $. Vậy chiều ngang cách cổng hình chữ nhật từ $ 4\,m $ đến $ 6\,m $. $ m+n=10 $