Tổng chi phí $ P $ để sản xuất $ x $ sản phẩm được cho bởi biểu thức$ P=x ^ { 2 } +30x+3300 $; giá bán một sản phẩm là 170 nghìn đồng. Số sản phẩm được sản xuất trong đoạn $ \left[ a;b \right] $với $ b-a $ lớn nhất thì nhà sản xuất không bị lỗ. Tính giá trị biểu thức $ P=a ^ { 2 } -2b $

Khi bán hết $ x $ sản phẩm thì số tiền thu được là: $ 170x $. Lợi nhuận là: $ L(x)=170x-x ^ { 2 } -30x-3300 $ hay $ L(x)=-x ^ { 2 } +140x-3300 $ Điều kiện để nhà sản xuất không bị lỗ là $ L(x)≥0⇔x ^ { 2 } -140x+3300≤0 $. Xét $ L(x)=x ^ { 2 } -140x+3300 $, Ta có: $ L(x)=0⇔x ^ { 2 } -140x+3300=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=30 \\ x=110 \end{array} \right. $ Bảng xét dấu: Dựa vào Bảng xét dấu ta có: $ x ^ { 2 } -140x+3300≤0⇔x∈[30;110] $. Suy ra $ a=30;\,\,b=110 $. Vậy giá trị biểu thức $ P=a ^ { 2 } -2b=30 ^ { 2 } -2.110=680 $.