Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi cạnh bằng $ 1 $, $ \widehat { ABC }=60° $. Mặt bên $ SAB $ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ SA $ và $ CD $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ BM $ và $ SN $ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Gọi $ H $ là trung điểm của $ AB $, $ G $ là giao điểm của $ SH $ và $ BM $. Do $ (SAB)⊥(ABCD) $ nên $ SH⊥(ABCD) $. Trong mặt phẳng $ \left ( { SHN } \right ) $, kẻ đường thẳng đi qua $ G $ và song song với $ SN $, cắt $ HN $ tại $ E $. Ta có $ SN\parallel \left ( { BGE } \right ) $ nên $ d\left ( { BM;SN } \right )=d\left ( { SN;\left ( { BGE } \right ) } \right )=d\left ( { S;\left ( { BGE } \right ) } \right ) $. Do $ G $ là trọng tâm của tam giác $ SAB $ nên $ \frac { d\left ( { S;\left ( { BGE } \right ) } \right ) } { d\left ( { H;\left ( { BGE } \right ) } \right ) }=\frac { SG } { HG }=2⇒d\left ( { S;\left ( { BGE } \right ) } \right )=2d\left ( { H;\left ( { BGE } \right ) } \right ) $. Ta có $ HE=\frac { 1 } { 3 }HN=\frac { 1 } { 3 } $ nên $ S_{ ΔBHE } =\frac { 1 } { 2 }BH.HE.\sin120°=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 24 } $. Thể tích của tứ diện $ GBHE $ là $ V_{ GBHE } =\frac { 1 } { 3 }GH.S_{ ΔBHE } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 24 }=\frac { 1 } { 144 } $. Mặt khác $ V_{ GBHE } =\frac { 1 } { 3 }.d\left ( { H;\left ( { BGE } \right ) } \right ).S_{ ΔBGE } $. Ta có $ BE ^ { 2 } =BH ^ { 2 } +HE ^ { 2 } -2BH.HE.\cos120°=\frac { 19 } { 36 } $, $ BG=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 } $, $ GE=\frac { 1 } { 3 }SN=\frac { 1 } { 3 }\sqrt[] { SH ^ { 2 } +HN ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 3 }\sqrt[] { \frac { 3 } { 4 }+1 }=\frac { \sqrt[] { 7 } } { 6 } $ Vì $ BE ^ { 2 } =BG ^ { 2 } +GE ^ { 2 } $ nên tam giác $ BGE $ vuông tại $ G $, $ S_{ ΔBGE } =\frac { 1 } { 2 }BG.GE=\frac { \sqrt[] { 21 } } { 36 } $. Do đó $ d\left ( { H;\left ( { BGE } \right ) } \right )=\frac { 3V_{ GBHE } } { S_{ ΔBGE } }=\frac { 3 } { 4\sqrt[] { 21 } } $. Vậy $ d\left ( { BM;SN } \right )=2.\frac { 3 } { 4\sqrt[] { 21 } }=\frac { \sqrt[] { 21 } } { 14 }≈0,33 $.