(Chuyên Hạ Long 2025) Trong không gian cho một điểm $ O $ cố định. Các điểm $ P,Q,R,S $ thay đổi sao cho chúng luôn là bốn đỉnh của một khối tứ diện đồng thời $ OP=OQ=2 $ và $ OR=OS=\sqrt[] { 10 } $. Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $ PQRS $ bằng bao nhiêu? ( làm tròn kết quả tới hàng phần trăm).

Dựng $ OH $ vuông góc với $ PQ $ tại $ H $, dựng $ OK $ vuông góc với $ RS $ tại $ K $, thì $ H,K $ lần lượt là trung điểm của $ PQ $ và $ RS $. Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} OK=x < \sqrt[] { 10 } \\ OH=y < 2 \end{array} \right. $. Ta có $ V_{ PQRS } =\frac { 1 } { 6 }PQ.RS.d\left ( { PQ,RS } \right ).\sin\left ( { PQ,RS } \right ) $ $ \leq \frac { 1 } { 6 }PQ.RS.d\left ( { PQ,RS } \right )\leq \frac { 1 } { 6 }PQ.RS.HK\leq \frac { 2\sqrt[] { 10-x ^ { 2 } }.2\sqrt[] { 4-y ^ { 2 } }.\left ( { x+y } \right ) } { 6 } $. Ta lại có: $ \left ( { x+y } \right ) ^ { 2 } =\left ( { x+\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } }.\sqrt[] { 2 }y } \right ) ^ { 2 } \leq \left ( { 1+\frac { 1 } { 2 } } \right )\left ( { x ^ { 2 } +2y ^ { 2 } } \right )=\frac { 3 } { 2 }\left ( { x ^ { 2 } +2y ^ { 2 } } \right ) $, do đó $ V_{ PQSR } \leq \frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { 10-x ^ { 2 } }.\sqrt[] { 4-y ^ { 2 } }.\left ( { x+y } \right )\leq \frac { 2 } { 3 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 2 } }.\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } }\sqrt[] { \left ( { 10-x ^ { 2 } } \right )\left ( { 8-2y ^ { 2 } } \right )\left ( { x ^ { 2 } +2y ^ { 2 } } \right ) } $ $ \leq \frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 }.\sqrt[] { \left ( { \frac { 10-x ^ { 2 } +8-2y ^ { 2 } +x ^ { 2 } +2y ^ { 2 } } { 3 } } \right ) ^ { 3 } }=6\sqrt[] { 2 }≈8,49 $. Dấu bằng xảy ra khi $ \left \{ \begin{array}{l} x=2 \\ y=1 \end{array} \right. $