Hình bên mô tả một mặt cắt ngang của một tòa nhà cao tầng. Một chiếc thang từ xe cứu hỏa lên đến mặt tường phía trước của tòa nhà phải vượt qua phần mái che cao hơn 10m so với mặt đất và vùng mái này nhô ra 12m so với tường. Giả sử, độ cao của xe cứu hỏa là không đáng kể, hãy tìm độ dài ngắn nhất của chiếc thang để các lính cứu hỏa có thể thực hiện nhiệm vụ này (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Lời giải Đặt $\theta$ là góc tạo bởi thang với phương ngang. Độ dài thang là $L(\theta) = \frac{10}{\sin\theta} + \frac{12}{\cos\theta}$ với $\theta \in (0; \frac{\pi}{2})$. Ta có: $$ L'(\theta) = -\frac{10\cos\theta}{\sin^{2}\theta} + \frac{12\sin\theta}{\cos^{2}\theta} $$ Giải $L'(\theta) = 0$: $$ \frac{12\sin\theta}{\cos^{2}\theta} = \frac{10\cos\theta}{\sin^{2}\theta} \Leftrightarrow \frac{\sin^{3}\theta}{\cos^{3}\theta} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow \tan\theta = \sqrt[3]{\frac{5}{6}} $$ Suy ra $\theta \approx 0,76$ rad. Độ dài thang ngắn nhất: $$ L(0,76) \approx \frac{10}{\sin(0,76)} + \frac{12}{\cos(0,76)} \approx 31,1 \text{ m}. $$