Hình cho thấy một mặt bằng đường đua bao gồm hai cạnh của một hình chữ nhật và hai nửa đường tròn. Ngoài ra còn cho vị trí $ P $ của một khán giả đang xem đua từ trên nóc xe của mình. Hãy tìm điểm $ Q $ trên đường đua sao cho khoảng cách từ $ P $ đến đường đua là nhỏ nhất. Tính khoảng cách giữa hai điểm đó.

Rõ ràng điểm cần tìm phải nằm trên cung nửa đường tròn ở góc dưới bên trái của đường đua. Chúng ta thiết lập hệ tọa độ như ở Hình 8, với tâm của hình tròn ở gốc tọa độ và bán kính bằng 1. Phương trình của đường tròn là $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =1 $ Do chỉ xét nửa dưới bên trái, tức $ x\leq 0 $ và $ y\leq 0 $, ta giải được $ y=-\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } },\quad -1\leq x\leq 0 $(1) Gọi $ D $ là khoảng cách giữa $ P\left ( { -2,-\frac { 3 } { 2 } } \right ) $ và một điểm $ Q(x,y) $ trên cung. Áp dụng công thức khoảng cách, $ D=\sqrt[] { (x-(-2)) ^ { 2 } +\left ( { y-\left ( { -\frac { 3 } { 2 } } \right ) } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { (x+2) ^ { 2 } +\left ( { y+\frac { 3 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } } $ Do đó $ D ^ { 2 } =(x+2) ^ { 2 } +\left ( { y+\frac { 3 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =x ^ { 2 } +4x+4+y ^ { 2 } +3y+\frac { 9 } { 4 } $(2) Vì $ D $ nhỏ nhất khi và chỉ khi $ D ^ { 2 } $ nhỏ nhất, ta sẽ đi tìm cực tiểu của $ D ^ { 2 } $. Thay $ y $ từ (1) vào (2): $ D ^ { 2 } =x ^ { 2 } +4x+4+\left ( { 1-x ^ { 2 } } \right )-3\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }+\frac { 9 } { 4 }=4x-3\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }+\frac { 29 } { 4 } $ Vậy bài toán tương đương với việc tìm $ x\in [-1,0] $ để hàm $ f(x)=4x-3\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }+\frac { 29 } { 4 } $ nhận giá trị nhỏ nhất. - Tính đạo hàm: $ f ^ { ′ } (x)=\left[ 4x-3\left ( { 1-x ^ { 2 } } \right ) ^ { 1/2 } +\frac { 29 } { 4 } \right] ^ { ′ } =4-3⋅\frac { 1 } { 2 }\left ( { 1-x ^ { 2 } } \right ) ^ { -1/2 } ⋅(-2x)=4+\frac { 3x } { \sqrt[] { 1-x ^ { 2 } } } $ - Giải $ f ^ { ′ } (x)=0 $: $ 4+\frac { 3x } { \sqrt[] { 1-x ^ { 2 } } }=0⇔3x=-4\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }⇔9x ^ { 2 } =16\left ( { 1-x ^ { 2 } } \right )⇔25x ^ { 2 } =16 $ cho $ x=±\frac { 4 } { 5 } $. Trong đó chỉ $ x=-\frac { 4 } { 5 } $ nằm trong $ [-1,0] $. So sánh giá trị: Như vậy $ f $ nhỏ nhất bằng 2.25 tại $ x=-\frac { 4 } { 5 } $. Từ (7) ta có $ y=-\sqrt[] { 1-\left ( { -\frac { 4 } { 5 } } \right ) ^ { 2 } }=-\frac { 3 } { 5 } $ Do đó điểm cần tìm là $ Q\left ( { -\frac { 4 } { 5 },-\frac { 3 } { 5 } } \right ). $ Khoảng cách từ $ P $ đến $ Q $ là $ D=\sqrt[] { f\left ( { -\frac { 4 } { 5 } } \right ) }=\sqrt[] { \frac { 9 } { 4 } }=\frac { 3 } { 2 } $ hay $ 1,5( km) $.