Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trong $[-2; 9]$ sao cho phương trình $(m^{2}-5m+4)x^{5}+x^{2}+4=0$ có nghiệm?

Lời giải Đặt $f(x) = (m^{2}-5m+4)x^{5}+x^{2}+4$. Trường hợp 1: $m^{2}-5m+4=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=1 \\ m=4 \end{array} \right.$. Phương trình trở thành $x^{2}+4=0$ (vô nghiệm). Trường hợp 2: $m^{2}-5m+4 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1$ và $m \neq 4$. $f(x)$ là hàm đa thức bậc 5 nên liên tục trên $\mathbb{R}$. $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (m^{2}-5m+4)x^{5} = \pm\infty $$ $$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (m^{2}-5m+4)x^{5} = \mp\infty $$ Do $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ và $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ trái dấu, theo tính chất hàm số liên tục, phương trình luôn có nghiệm với mọi $m \in \mathbb{R} \setminus \{1; 4\}$. Với $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in [-2; 9]$, các giá trị của $m$ là: $\{-2; -1; 0; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9\}$. Tổng cộng có 10 giá trị.