Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác đều cạnh $ a $. Hình chiếu vuông góc của $ S $ trên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là điểm $ H $ thuộc cạnh $ AB $ sao cho $ HA=2HB $. Góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ bằng $ 60 ^ { \circ } $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SA $ và $ BC $ bằng $ ma $. Tính giá trị của $ m $(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

$ SH⊥\left ( { ABC } \right )⇒\left ( { SC,\left ( { ABC } \right ) } \right )=\left ( { SC,HC } \right )= \widehat { SCH }=60 ^ { \circ } $. $ HC ^ { 2 } =HB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } -2.HB.BC.{ \rm{ \cos } } \widehat { HBC }=\left ( { \frac { a } { 3 } } \right ) ^ { 2 } +a ^ { 2 } -2.\frac { a } { 3 }.a.{ \rm{ \cos } }60 ^ { \circ } . $ $ ⇒HC=\frac { a\sqrt[] { 7 } } { 3 } $. $ ⇒SH=HC.\tan60 ^ { \circ } =\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 3 } $. Từ $ A $ kẻ đường thẳng $ d $//$ BC $. Trên đường thẳng $ d $, xác định điểm $ D $ sao cho tứ giác $ ACBD $ là hình bình hành. Từ $ H $, kẻ $ HK⊥AD{ \rm{ } }\left ( { K∈AD } \right ) ⇒AD⊥\left ( { SHK } \right ) $. Từ $ H $, kẻ $ HI⊥SK{ \rm{ } }\left ( { I∈SK } \right ) ⇒HI⊥\left ( { SAD } \right ) $. Vì $ AD{ \rm{ // } }BC $ nên $ BC{ \rm{ // } }\left ( { SAD } \right )⇒d\left ( { SA,BC } \right )=d\left ( { BC,\left ( { SAD } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { SAD } \right ) } \right ) $. Vì $ ACBD $ là hình bình hành nên $ \widehat { HAK }= \widehat { BAD }=60 ^ { \circ } $. Xét tam giác vuông $ AHK $ tại $ K $: $ HK=AH.\sin60 ^ { \circ } =\frac { 2a } { 3 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $. Xét tam giác vuông $ SHK $ tại $ H $: $ SK=\sqrt[] { SH ^ { 2 } +HK ^ { 2 } }=\sqrt[] { \frac { 21a ^ { 2 } } { 9 }+\frac { a ^ { 2 } } { 3 } }=\frac { 2a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $, $ HI=\frac { SH.HK } { SK }=\frac { \frac { a\sqrt[] { 21 } } { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } } { \frac { 2a\sqrt[] { 6 } } { 3 } }=\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 6\sqrt[] { 2 } } $. Vì $ H∈AB $ nên $ \frac { d\left ( { B,\left ( { SAD } \right ) } \right ) } { d\left ( { H,\left ( { SAD } \right ) } \right ) }=\frac { AB } { AH }=\frac { 3 } { 2 } $ $ ⇒d\left ( { B,\left ( { SAD } \right ) } \right )=\frac { 3 } { 2 }HI=\frac { 3 } { 2 }.\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 6\sqrt[] { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 4\sqrt[] { 2 } }≈0,81a $. Vậy $ d\left ( { SA,BC } \right )≈0,81a $ hay $ m≈0,81 $.