Cho hình lăng trụ tam giác đều $ ABC.A'B'C' $. Biết số đo góc nhị diện $ \left[ A',BC,A \right] $ bằng $ 30 ^ { \circ } $ và tam giác $ A'BC $ có diện tích bằng $ 32 $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AB $ và $ A'C' $ bằng bao nhiêu?

Vì $ ABC.A'B'C' $ là hình lăng trụ tam giác đều nên khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AB $ và $ A'C' $ bằng độ dài đoạn $ AA' $. Gọi $ M $ là trung điểm của đoạn $ BC $, ta có $ AM⊥BC,{ \rm{ } }A'M⊥BC $ $ ⇒ $Góc $ \widehat { A'MA } $ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $ \left[ A',BC,A \right] $. $ ⇒ \widehat { A'MA }=30 ^ { \circ } $. Ta có: $ S_{ A'BC } =32⇒\frac { 1 } { 2 }.A'M.BC=32⇒A'M.BC=64 $. $ ⇒\frac { AM } { { \rm{ \cos } } \widehat { A'MA } }.\frac { AM } { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } }=64⇒\frac { AM } { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } }.\frac { AM } { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } }=64⇒AM=4\sqrt[] { 3 } $. $ ⇒ AA'=AM.\tan30 ^ { \circ } =4 $.