Cho $ ΔABC $có $ AB=2 $;$ AC=3 $;$ \widehat { { \rm{ A } } }=60 ^ { 0 } $. Tính độ dài đường phân giác trong góc $ A $ của tam giác $ ABC $.

Gọi $ M $ là chân đường phân giác góc A. Ta có $ BC ^ { 2 } =AB ^ { 2 } +AC ^ { 2 } -2AB.AC.cosA=7⇒BC=\sqrt[] { 7 }. $ Lại có $ \frac { BM } { CM }=\frac { AB } { AC }=\frac { 2 } { 3 }. $ Suy ra $ BM=\frac { 2\sqrt[] { 7 } } { 5 }. $ Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ ABM $ ta được: $ AM ^ { 2 } =AB ^ { 2 } +BM ^ { 2 } -2AB.BM.\cos \widehat { ABC }=AB ^ { 2 } +BM ^ { 2 } -2AB.BM.\frac { AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } -AC ^ { 2 } } { 2.AB.BC }=\frac { 108 } { 25 }. $ $ ⇒AM=\frac { 6\sqrt[] { 3 } } { 5 }. $ Cách 2: Gọi $ M $ là chân đường phân giác trong của góc $ A $. Vì đoạn thẳng $ AM $ chia tam giác $ ABC $ thành hai phần nên ta có: $ S_{ ABC } =S_{ ABM } +S_{ ACM } ⇔\frac { 1 } { 2 }AB.AC.\sin \widehat { BAC }=\frac { 1 } { 2 }AB.AM.\sin \widehat { BAM }+\frac { 1 } { 2 }AC.AM.\sin \widehat { MAC } $ $ ⇔AM=\frac { AB.AC.\sin60° } { \left ( { AB+AC } \right ).\sin30° }. $ $ ⇔AM=\frac { 6\sqrt[] { 3 } } { 5 }. $ Vậy $ AM=\frac { 6\sqrt[] { 3 } } { 5 }. $