Tam giác$ ABC $ có các trung tuyến $ m_{ a } =15 $,$ m_{ b } =12 $,$ m_{ c } =9 $.Diện tích S của tam giác$ ABC $ bằng

Lời giải 1 Chọn A Theo bài toán ta có $ \left \{ \begin{array}{l} m_{ a } ^{ 2 }=\frac { b ^ { 2 } +c ^ { 2 } } { 2 }-\frac { a ^ { 2 } } { 4 }=15 ^ { 2 } \\ m_{ b } ^{ 2 }=\frac { a ^ { 2 } +c ^ { 2 } } { 2 }-\frac { b ^ { 2 } } { 4 }=12 ^ { 2 } \\ m_{ c } ^{ 2 }=\frac { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } } { 2 }-\frac { c ^ { 2 } } { 4 }=9 ^ { 2 } \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} 2b ^ { 2 } +2c ^ { 2 } -a ^ { 2 } =900 \\ 2a ^ { 2 } +2c ^ { 2 } -b ^ { 2 } =576 \\ 2a ^ { 2 } +2b ^ { 2 } -c ^ { 2 } =324 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=10 \\ b=4\sqrt[] { 13 } \\ c=2\sqrt[] { 73 } \end{array} \right. $ Ta có $ p=\frac { a+b+c } { 2 }=5+2\sqrt[] { 13 }+\sqrt[] { 73 } $, áp dụng công thức He-rong ta có $ S_{ ABC } =\sqrt[] { p(p-a)(p-b)(p-c) }=72 $. Cách 2: Đặt $ BC=a,CA=b,AB=c $, Theo định lý trung tuyến có: $ \left \{ \begin{array}{l} 4m_{ a } ^{ 2 }+a ^ { 2 } =2\left ( { b ^ { 2 } +c ^ { 2 } } \right ) \\ 4m_{ b } ^{ 2 }+b ^ { 2 } =2\left ( { a ^ { 2 } +c ^ { 2 } } \right ) \\ 4m_{ c } ^{ 2 }+c ^ { 2 } =2\left ( { b ^ { 2 } +a ^ { 2 } } \right ) \end{array} \right. $$ ⇒\left \{ \begin{array}{l} -a ^ { 2 } +2b ^ { 2 } +2c ^ { 2 } =900 \\ 2a ^ { 2 } -b ^ { 2 } +2c ^ { 2 } =576 \\ 2a ^ { 2 } +2b ^ { 2 } -c ^ { 2 } =324 \end{array} \right. $$ ⇒\left \{ \begin{array}{l} a ^ { 2 } =100 \\ b ^ { 2 } =208 \\ c ^ { 2 } =291 \end{array} \right. $$ ⇒\left \{ \begin{array}{l} a ^ { 2 } =100 \\ b ^ { 2 } =208 \\ c ^ { 2 } =292 \end{array} \right.⇒\left \{ \begin{array}{l} a=10 \\ b=4\sqrt[] { 13 } \\ c=2\sqrt[] { 73 } \end{array} \right. $ Có $ S_{ ABC } =\sqrt[] { p\left ( { p-a } \right )\left ( { p-b } \right )\left ( { p-c } \right ) } $, $ p=\frac { 1 } { 2 }\left ( { a+b+c } \right ) $ Suy ra $ S_{ ABC } =72 $