Cho hệ bất phương trình: $\text{(I)}\begin{cases} 2x + 3y \ge 6 \\ x - 2y \le 3 \\ x + y \le 6 \\ x \ge 1 \end{cases}$. Khi đó:

a) **Đúng.** Hệ bất phương trình đã cho gồm 4 bất phương trình, mỗi bất phương trình đều có dạng bậc nhất đối với hai ẩn số $x$ và $y$. Do đó, đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. b) **Sai.** Thay cặp số $(4; 3)$ vào bất phương trình thứ ba trong hệ: $4 + 3 = 7 \le 6$ (vô lý). Vì không thỏa mãn tất cả các bất phương trình nên cặp số này không phải là nghiệm của hệ. c) **Sai.** Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $ABCD$ được giới hạn bởi bốn đường thẳng ranh giới. Xác định tọa độ các đỉnh bằng cách giải hệ phương trình từng đôi một: - Giao điểm $A(3; 0)$ của $2x + 3y = 6$ và $x - 2y = 3$ - Giao điểm $B(5; 1)$ của $x - 2y = 3$ và $x + y = 6$ - Giao điểm $C(1; 5)$ của $x + y = 6$ và $x = 1$ - Giao điểm $D\left(1; \frac{4}{3}\right)$ của $2x + 3y = 6$ và $x = 1$ Miền nghiệm là đa giác có 4 đỉnh nên là miền tứ giác, không phải tam giác. d) **Đúng.** Giá trị của biểu thức $F = 4x - 5y$ sẽ đạt cực trị tại một trong các đỉnh của miền nghiệm tứ giác $ABCD$. Ta lần lượt tính giá trị của $F$ tại 4 đỉnh: - Tại $A(3; 0) \implies F(3; 0) = 4 \cdot 3 - 5 \cdot 0 = 12$ - Tại $B(5; 1) \implies F(5; 1) = 4 \cdot 5 - 5 \cdot 1 = 15$ - Tại $C(1; 5) \implies F(1; 5) = 4 \cdot 1 - 5 \cdot 5 = -21$ - Tại $D\left(1; \frac{4}{3}\right) \implies F\left(1; \frac{4}{3}\right) = 4 \cdot 1 - 5 \cdot \frac{4}{3} = -\frac{8}{3}$ So sánh các giá trị, ta thấy $F$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-21$ tại đỉnh $C(1; 5)$. Khi đó $x_0 = 1$ và $y_0 = 5$. Tính tổng bình phương: $x_0^2 + y_0^2 = 1^2 + 5^2 = 26$. Mệnh đề đúng.