Cho hệ bất phương trình: $\text{(I)}\begin{cases} x + y \ge 12 \\ 2x + y \ge 16 \\ x + 2y \ge 14 \\ 0 \le x \le 12 \\ 0 \le y \le 12 \end{cases}$. Khi đó:

a) **Đúng.** Thay cặp số $(3; 10)$ vào hệ bất phương trình: - $3 + 10 = 13 \ge 12$ (Đúng) - $2 \cdot 3 + 10 = 16 \ge 16$ (Đúng) - $3 + 2 \cdot 10 = 23 \ge 14$ (Đúng) - $0 \le 3 \le 12$ và $0 \le 10 \le 12$ (Đúng) Vậy $(3; 10)$ là một nghiệm của hệ. b) **Sai.** Khi vẽ các đường thẳng ranh giới, ta xác định được miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác $ABCDE$ khép kín với tọa độ các đỉnh là: $A(12; 12)$, $B(2; 12)$, $C(4; 8)$, $D(10; 2)$ và $E(12; 1)$. c) **Sai.** Diện tích miền nghiệm ngũ giác $ABCDE$ có thể tính bằng cách lấy diện tích hình vuông giới hạn bởi góc $[0;12] \times [0;12]$ trừ đi các phần tam giác bị gạch bỏ, hoặc áp dụng công thức tọa độ Gauss (Shoelace formula): $$S = \frac{1}{2} |(12 \cdot 12 - 12 \cdot 2) + (2 \cdot 8 - 12 \cdot 4) + (4 \cdot 2 - 8 \cdot 10) + (10 \cdot 1 - 2 \cdot 12) + (12 \cdot 12 - 1 \cdot 12)| = 67$$ Do đó diện tích miền nghiệm bằng 67, không phải 113. d) **Đúng.** Xét biểu thức mục tiêu $T = 20x + 25y$. Ta tính giá trị của $T$ tại các đỉnh của miền ngũ giác $ABCDE$: $T(A) = 20 \cdot 12 + 25 \cdot 12 = 540$ $T(B) = 20 \cdot 2 + 25 \cdot 12 = 340$ $T(C) = 20 \cdot 4 + 25 \cdot 8 = 280$ $T(D) = 20 \cdot 10 + 25 \cdot 2 = 250$ $T(E) = 20 \cdot 12 + 25 \cdot 1 = 265$ Ta được $T$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $250$ tại đỉnh $D(10; 2)$. Vậy để $20x + 25y \ge m$ đúng với mọi cặp $(x; y)$ thoả mãn hệ bất phương trình $\text{(I)}$, giá trị nhỏ nhất của $m$ là $250$.