Trả lời ngắn · Câu 51
(Sở Nghệ An 2025) Một nhà máy sản xuất sản phẩm A có tỷ lệ sản phẩm bị lỗi là $ 2\%. $ Nhà máy sử dụng hai hệ thống kiểm tra chất lượng độc lập để phát hiện lỗi: Hệ thống 1: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là $ 95\%. $ Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm không lỗi là $ 1\%. $ Hệ thống 2: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là $ 90\%. $ Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm không lỗi là $ 5\%. $ Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Biết rằng sản phẩm này bị cả hai hệ thống kiểm tra đều báo lỗi. Tính xác suất để sản phẩm này thực tế không bị lỗi. Kết quả xác suất này sau khi đã làm tròn đến hàng phần nghìn là số có dạng $ 0,0ab $ (ví dụ nếu kết quả là $ 0,024 $ thì $ a=2,b=4 $). Tính giá trị của $ a+b. $
Xem đáp án và lời giải
Đáp án chấp nhận
- 10
Lời giải
Lời giải
Gọi $A$ là biến cố “sản phẩm lỗi”, $\overline{A}$ là biến cố “sản phẩm tốt”.
Gọi $M$ là biến cố “Hệ thống 1 báo lỗi”, $N$ là biến cố “Hệ thống 2 báo lỗi”.
$P(A) = 0,02$, $P(\overline{A}) = 0,98$.
$P(M|A) = 0,95$, $P(N|A) = 0,9$.
$P(M|\overline{A}) = 0,01$, $P(N|\overline{A}) = 0,05$.
Vì hệ thống kiểm tra độc lập:
$P(MN|A) = 0,95 \cdot 0,9 = 0,855$.
$P(MN|\overline{A}) = 0,01 \cdot 0,05 = 0,0005$.
Công thức xác suất toàn phần:
$P(MN) = 0,02 \cdot 0,855 + 0,98 \cdot 0,0005 = 0,0171 + 0,00049 = 0,01759$.
Xác suất sản phẩm không lỗi (tốt) biết cả hai báo lỗi:
$P(\overline{A}|MN) = \frac{P(\overline{A}) \cdot P(MN|\overline{A})}{P(MN)} = \frac{0,00049}{0,01759} \approx 0,028$.
Vậy $a=2, b=8$, $a+b=10$.