Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C): (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 10$. Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $A(4; 4)$ có dạng $ax + 3y + c = 0$. Giá trị của $T = a + c$ bằng bao nhiêu?

Lời giải Đường tròn $(C)$ có tâm $I(3; 1)$. Tiếp tuyến $d$ của đường tròn $(C)$ tại điểm $A(4; 4)$ sẽ vuông góc với bán kính $IA$ tại tiếp điểm $A$. Do đó, đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(4; 4)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{IA}$ làm vectơ pháp tuyến. Ta có: $\overrightarrow{IA} = (4 - 3; 4 - 1) = (1; 3)$. Phương trình đường thẳng $d$ là: $1 \cdot (x - 4) + 3 \cdot (y - 4) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 16 = 0$. Đồng nhất phương trình vừa tìm được với dạng bài cho $ax + 3y + c = 0$, ta suy ra: $a = 1$ và $c = -16$. Vậy giá trị của biểu thức $T$ là: $T = a + c = 1 + (-16) = -15$.