Cho hàm số $ y=\frac { x ^ { 2 } +3 } { x-2 } $ có đồ thị $ \left ( { C } \right ) $. Hai đường tiệm cận của đồ thị $ \left ( { C } \right ) $ cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình thang vuông có diện tích $ S $. Tính $ S $.

Ta có $ \lim\limits_{ x\to 2 ^ { - } } y=\lim\limits_{ x\to 2 ^ { - } } \frac { x ^ { 2 } +3 } { x-2 }=-\infty $ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $ d_{ 1 } :x=2 $. Ta có $ y=x+2+\frac { 7 } { x-2 } $, $ \lim\limits_{ x\to -\infty } \left[ y-\left ( { x+2 } \right ) \right]=\lim\limits_{ x\to -\infty } \frac { 7 } { x-2 }=0 $ nên $ d_{ 2 } :y=x+2 $ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $ (C) $. Đường thẳng $ d_{ 2 } :y=x+2 $ cắt trục $ Oy $ tại $ A\left ( { 0;2 } \right ) $. Đường thẳng $ d_{ 1 } :x=2 $ cắt $ d_{ 2 } :y=x+2 $ tại $ B\left ( { 2;4 } \right ) $. Đường thẳng $ d_{ 1 } :x=2 $ cắt trục $ Ox $ tại $ C\left ( { 2;0 } \right ) $. Do đó hai đường tiệm cận của đồ thị $ \left ( { C } \right ) $ cùng với hai trục tọa độ tạo thành hình thang vuông $ OABC $. $ \Rightarrow S_{ OABC } =\frac { \left ( { OA+BC } \right ).OC } { 2 }=6 $.