Bài tập nâng cao · Bài 35
DẠNG 4. CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC VÉC – TƠ KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐIỂM DI ĐỘNG
Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 35
Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ bất kì. Chứng minh rằng $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$. Dựng điểm $D$ sao cho $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v}$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right)+\left(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right)=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CO}$
(với $O$ là trung điểm của $AB$).
Vậy $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{CO}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$.
Vì $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{CO}$ nên $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $O$.
(với $O$ là trung điểm của $AB$).
Vậy $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{CO}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$.
Vì $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{CO}$ nên $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $O$.