Cho các dãy số $ \left ( { a_{ n } } \right ),\left ( { b_{ n } } \right ) $ với $ a_{ n } =1-2n;b_{ n } =-n ^ { 3 } +2n+1 $.

a) Đúng. Ta có: $ \lim\limits_{ n→+∞ } \frac { a_{ n } } { b_{ n } }=\lim\limits_{ n→+∞ } \frac { 1-2n } { -n ^ { 3 } +2n+1 }=\lim\limits_{ n→+∞ } \frac { \frac { 1 } { n ^ { 3 } }-\frac { 2 } { n ^ { 2 } } } { -1+\frac { 2 } { n ^ { 2 } }+\frac { 1 } { n ^ { 3 } } }=0 $ b) Sai. Ta có: $ \lim\limits_{ n→+∞ } \frac { b_{ n } } { a_{ n } }=\lim\limits_{ n→+∞ } \frac { -n ^ { 3 } +2n+1 } { 1-2n }=\lim\limits_{ n→+∞ } \left ( { n ^ { 2 } .\frac { -1+\frac { 2 } { n ^ { 2 } }+\frac { 1 } { n ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { n }-2 } } \right ) $ Do $ \lim\limits_{ n→+∞ } n ^ { 2 } =+∞;\lim\limits_{ n→+∞ } \frac { -1+\frac { 2 } { n ^ { 2 } }+\frac { 1 } { n ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { n }-2 }=\frac { 1 } { 2 } ⇒\lim\limits_{ n→+∞ } \left ( { n ^ { 2 } .\frac { -1+\frac { 2 } { n ^ { 2 } }+\frac { 1 } { n ^ { 3 } } } { 1-\frac { 2 } { n } } } \right )=+∞ $ c) Đúng. Ta có: $ \lim\limits_{ n→+∞ } b_{ n } =\lim\limits_{ n→+∞ } \left ( { -n ^ { 3 } +2n+1 } \right )=\lim\limits_{ n→+∞ } \left[ n ^ { 3 } .\left ( { -1+\frac { 2 } { n ^ { 2 } }+\frac { 1 } { n ^ { 3 } } } \right ) \right] $ Do $ \lim\limits_{ n→+∞ } n ^ { 3 } =+∞;\lim\limits_{ n→+∞ } \left ( { -1+\frac { 2 } { n ^ { 2 } }+\frac { 1 } { n ^ { 3 } } } \right )=-1 ⇒\lim\limits_{ n→+∞ } \left[ n ^ { 3 } .\left ( { -1+\frac { 2 } { n ^ { 2 } }+\frac { 1 } { n ^ { 3 } } } \right ) \right]=-∞ $ d) Sai. Ta có: $ \lim\limits_{ n→+∞ } \frac { 1 } { a_{ n } }=\lim\limits_{ n→+∞ } \frac { 1 } { 1-2n }=\lim\limits_{ n→+∞ } \left ( { \frac { \frac { 1 } { n } } { \frac { 1 } { n }-2 } } \right )=0 $