Cho hình lăng trụ đứng $ ABC.A'B'C' $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ A $. Gọi $ E $ là trung điểm của $ AB $. Cho biết $ AB=\sqrt[] { 7 } $(cm), $ BC=4 $ (cm), $ CC'=4 $ (cm). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ A'B $ và $ CE $ bằng bao nhiêu cen-ti-mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Gọi $ F $ là trung điểm của cạnh $ AA' $. Ta có $ A'B{ \rm{ // } }EF $, $ A'B⊂\left ( { CEF } \right ) $, $ EF⊂\left ( { CEF } \right ) $ nên $ A'B{ \rm{ // } }\left ( { CEF } \right ) $. Mặt khác $ CE⊂\left ( { CEF } \right ) $ nên $ d\left ( { A'B,CE } \right )=d\left ( { A'B,\left ( { CEF } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { CEF } \right ) } \right ) $. Vì $ \left ( { CEF } \right ) $ qua trung điểm $ E $ của đoạn $ AB $ nên suy ra $ d\left ( { B,\left ( { CEF } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { CEF } \right ) } \right ) $. Kẻ $ AM⊥CE $ tại $ M $, từ $ AA'⊥\left ( { ABC } \right )⇒AA'⊥CE $, do đó $ CE⊥\left ( { AMF } \right )⇒\left ( { CEF } \right )⊥\left ( { AMF } \right ) $. Kẻ $ AH $ vuông góc với $ FM=\left ( { AMF } \right )∩\left ( { CEF } \right ) $ tại $ H $ ta thu được $ AH⊥\left ( { CEF } \right ) $, hay $ d\left ( { A,\left ( { CEF } \right ) } \right )=AH $. Tam giác $ ABC $ vuông tai $ A $ nên $ AC ^ { 2 } =BC ^ { 2 } -AB ^ { 2 } =4 ^ { 2 } -\sqrt[] { 7 } ^ { 2 } =9⇒AC=3 $. Tam giác $ ACE $ vuông tại $ A $ với đường cao $ AM $, ta có $ \frac { 1 } { AM ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AE ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AC ^ { 2 } }=\frac { 4 } { 7 }+\frac { 1 } { 9 }=\frac { 43 } { 63 }⇒AM=\frac { 3\sqrt[] { 301 } } { 43 } $. Tam giác $ AMF $ vuông tại $ A $ với đường cao $ AH $, ta có $ \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AM ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AF ^ { 2 } }=\frac { 43 } { 63 }+\frac { 1 } { 4 }=\frac { 235 } { 252 }⇒AH=\frac { 6\sqrt[] { 1645 } } { 235 }≈1,04 $. Vậy $ AH≈1,04 $.