Bác Nam làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là $2,25$ mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là $3$ mét. Giá làm mỗi mét vuông cửa là $1500000$ đồng. Vậy số tiền bác Nam phải trả là bao nhiêu nghìn đồng?

Lời giải Chọn hệ trục tọa độ sao cho đỉnh parabol là $(0; 2,25)$. Vì chiều rộng là $3$, parabol đi qua điểm $(1,5; 0)$ và $(-1,5; 0)$. Phương trình parabol: $y=ax^{2}+2,25$. Thay $x=1,5, y=0$: $a(1,5)^{2}+2,25=0 \Rightarrow 2,25a = -2,25 \Rightarrow a=-1$. Vậy $(P): y=-x^{2}+2,25$. Diện tích cửa: $$ S = \int_{-1,5}^{1,5} (-x^{2}+2,25) \, dx = 2 \int_{0}^{1,5} (-x^{2}+2,25) \, dx = 2 \left. \left( -\frac{x^{3}}{3}+2,25x \right) \right|_{0}^{1,5} $$ $$ S = 2 \left( -\frac{3,375}{3} + 3,375 \right) = 2(2,25) = 4,5 \text{ (m}^{2}). $$ Số tiền: $4,5 \cdot 1500000 = 6750000$ (đồng). Đổi sang nghìn đồng là $6750$.