Biết parabol $ \left ( { P } \right ):y=x ^ { 2 } -4x+3m $, (với $ m $ là tham số thực) cắt trục hoành tại $ 2 $ điểm có hoành độ dương $ x_{ 1 } ,\,x_{ 2 } $. Gọi $ S_{ 1 } ,\,S_{ 2 } $ và $ S_{ 3 } $ là diện tích hình phẳng được đánh dấu, kí hiệu như hình vẽ bên dưới. Biết $ S_{ 1 } =S_{ 2 } $ và $ S_{ 3 } =\frac { a } { b } $, với $ a,b $ là các số nguyên dương, $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $ T=25a ^ { 2 } -24b $.

Phương trình hoành độ giao điểm của $ \left ( { P } \right ) $ và trục hoành là $ x ^ { 2 } -4x+3m=0 $ (*) Và $ Δ'=4-3m $. Để parabol $ \left ( { P } \right ) $ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình (*) có $ 2 $ nghiệm phân biệt dương $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} Δ'>0 \\ S>0 \\ P>0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} 4-3m>0 \\ 4>0 \\ 3m>0 \end{array} \right.⇔0 < m < \frac { 4 } { 3 } $. Vì $ x_{ 1 } < x_{ 2 } $ nên $ x_{ 1 } =2-\sqrt[] { 4-3m };\,\,x_{ 2 } =2+\sqrt[] { 4-3m } $ Khi đó *) $ S_{ 1 } =\int _{ 0 }^{ x_{ 1 } } { \left ( { x ^ { 2 } -4x+3m } \right ) }{ \rm{ d } }x $ $ =\int _{ 0 }^{ 2-\sqrt[] { Δ' } } { \left ( { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } -4+3m } \right ) }{ \rm{ d } }x=\left. { \left[ \frac { 1 } { 3 }\left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } -\left ( { 4-3m } \right )x \right] } \right|_{ 0 }^{ 2-\sqrt[] { Δ' } }=\frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { Δ' } ^ { 3 } -2Δ'+\frac { 8 } { 3 } $. *) $ S_{ 2 } =-\int _{ x_{ 1 } }^{ x_{ 2 } } { \left ( { x ^ { 2 } -4x+3m } \right ) }{ \rm{ d } }x=-\int _{ 2-\sqrt[] { Δ' } }^{ 2+\sqrt[] { Δ' } } { \left ( { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } -4+3m } \right ) }{ \rm{ d } }x=-\left. { \left[ \frac { 1 } { 3 }\left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } -\left ( { 4-3m } \right )x \right] } \right|_{ 2-\sqrt[] { Δ' } }^{ 2+\sqrt[] { Δ' } } $ $ =-\frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { Δ' } ^ { 3 } +2\sqrt[] { Δ' } ^ { 3 } =\frac { 4 } { 3 }\sqrt[] { Δ' } ^ { 3 } $. Mà $ S_{ 1 } =S_{ 2 } $ nên $ \frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { Δ' } ^ { 3 } -2Δ'+\frac { 8 } { 3 }=\frac { 4 } { 3 }\sqrt[] { Δ' } ^ { 3 } $ $ ⇔-\frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { Δ' } ^ { 3 } -2Δ'+\frac { 8 } { 3 }=0 $ $ ⇔\sqrt[] { Δ' }=1 $ $ ⇔4-3m=1 $ $ ⇔m=1 $ (thỏa điều kiện $ 0 < m < \frac { 4 } { 3 } $) Khi đó ta suy ra $ \left ( { P } \right ):y=x ^ { 2 } -4x+3 $; $ x_{ 1 } =1 $ và $ x_{ 2 } =3 $. Gọi $ A\left ( { 3;0 } \right );\,B\left ( { 0,3 } \right ) $ suy ra phương trình đường thẳng $ AB $ là $ y=-x+3 $. Và $ S_{ 3 } =\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { -x+3-x ^ { 2 } +4x-3 } \right ) }{ \rm{ d } }x+\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { -x+3 } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 19 } { 6 } $ (đvdt). Vậy $ a=19;b=6 $ hay $ T=25a ^ { 2 } -24b=8881 $.