Trong đợt hội trại “Khi tôi $ 18 $” được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật $ ABCD $, phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Hỏi diện tích phần trang trí hoa văn bé nhất là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó phương trình đường parabol có dạng: $ y=ax ^ { 2 } +b $. Parabol cắt trục tung tại điểm $ \left ( { 0;4 } \right ) $ và cắt trục hoành tại $ \left ( { 2;0 } \right ) $ nên: $ \left \{ \begin{array}{l} b=4 \\ a.2 ^ { 2 } +b=0 \end{array} \right. $ $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} a=-1 \\ b=4 \end{array} \right. $. Do đó, phương trình parabol là $ y=-x ^ { 2 } +4 $. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol và trục hoành là: $ =\left. { \left ( { -\frac { x ^ { 3 } } { 3 }+4x } \right ) } \right|_{ -2 }^{ 2 } =\frac { 32 } { 3 } $. Gọi $ C\left ( { t;0 } \right ) $ $ ⇒B\left ( { t;4-t ^ { 2 } } \right ) $ với $ 0 < t < 2 $. Ta có $ CD=2t $ và $ BC=4-t ^ { 2 } $. Diện tích hình chữ nhật $ ABCD $ là $ S_{ 2 } =CD.BC $ $ =2t.\left ( { 4-t ^ { 2 } } \right ) =-2t ^ { 3 } +8t $. Diện tích phần trang trí hoa văn là: $ S=S_{ 1 } -S_{ 2 } =\frac { 32 } { 3 }-\left ( { -2t ^ { 3 } +8t } \right ) =2t ^ { 3 } -8t+\frac { 32 } { 3 } $. Xét hàm số $ f\left ( { t } \right )=2t ^ { 3 } -8t+\frac { 32 } { 3 } $ với $ 0 < t < 2 $. Ta có $ f'\left ( { t } \right )=6t ^ { 2 } -8=0 ⇔ t=\frac { 2 } { \sqrt3 }\in \left ( { 0;2 } \right ) $ (loại nghiệm $ t=-\frac { 2 } { \sqrt3 } $ vì không thuộc $ \left ( { 0;2 } \right ) $). Lập bảng biến thiên của $ f\left ( { t } \right ) $ trên $ \left ( { 0;2 } \right ) $ ta thấy $ f $ giảm trên $ \left ( { 0;\frac { 2 } { \sqrt3 } } \right ) $ và tăng trên $ \left ( { \frac { 2 } { \sqrt3 };2 } \right ) $, nên $ f $ đạt giá trị nhỏ nhất tại $ t=\frac { 2 } { \sqrt3 } $. Như vậy, diện tích phần trang trí nhỏ nhất là $ \frac { 96-32\sqrt3 } { 9 }\,m ^ { 2 } ≈4,51\,m ^ { 2 } $.