Biết $ \int \frac { 4x-1 } { 2x ^ { 2 } +5x-3 }dx=\frac { a } { b }\ln\left | { 2x-1 } \right |+\frac { c } { b }\ln\left | { x+3 } \right |+C $ với $ a,b,c $ là các số nguyên dương và $ \frac { a } { b },{ \rm{ } }\frac { c } { b } $ là các phân số tối giản. Tính $ S=2a+3b+c $.

Ta có: $ \int \frac { 4x-1 } { 2x ^ { 2 } +5x-3 }dx=\int \frac { 4x-1 } { \left ( { 2x-1 } \right )\left ( { x+3 } \right ) }dx $ Giả sử: $ \frac { 4x-1 } { \left ( { 2x-1 } \right )\left ( { x+3 } \right ) }=\frac { A } { 2x-1 }+\frac { B } { x+3 }=\frac { \left ( { A+2B } \right )x+3A-B } { \left ( { 2x-1 } \right )\left ( { x+3 } \right ) }⇒\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} A+2B=4 \\ 3A-B=-1 \\ \end{array} \end{array} \right.⇒\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} A=\frac { 2 } { 7 } \\ B=\frac { 13 } { 7 } \\ \end{array} \end{array} \right. $. Vậy $ \int \frac { 4x-1 } { 2x ^ { 2 } +5x-3 }dx=\frac { 1 } { 7 }\int \frac { 2 } { 2x-1 }dx+\frac { 13 } { 7 }\int \frac { 1 } { x+3 }dx=\frac { 1 } { 7 }\ln\left | { 2x-1 } \right |+\frac { 13 } { 7 }\ln\left | { x+3 } \right |+C $. Từ đó ta được $ a=1;{ \rm{ } }b=7;{ \rm{ } }c=13 $. Suy ra: $ S=2a+3b+c=36 $.