Cho dãy số $(u_n)$ có các số hạng đầu tiên là $1; 4; 10; 19; 31; \dots$. Biết rằng hiệu của hai số hạng liên tiếp trong dãy số $(u_n)$ lập thành một cấp số cộng là: $3; 6; 9; 12; \dots$. Hỏi số $2341$ là số hạng thứ mấy của dãy số $(u_n)$?

Lời giải Từ giả thiết ta có: $$ \begin{cases} u_2 - u_1 = 3 \\ u_3 - u_2 = 6 \\ u_4 - u_3 = 9 \\ \dots \\ u_n - u_{n-1} = 3(n-1) \end{cases} $$ Cộng theo vế của các biểu thức trên ta được: $$ u_n - u_1 = 3 + 6 + 9 + \dots + 3(n-1) = \frac{3n(n-1)}{2} \quad (*) $$ Thay $u_n = 2341$ và $u_1 = 1$ vào $(*)$ ta được: $$ 2341 - 1 = \frac{3n(n-1)}{2} $$ $$ \Leftrightarrow 3n^2 - 3n - 4680 = 0 $$ $$ \Leftrightarrow n = 40 \text{ (t/m) hoặc } n = -39 \text{ (loại)} $$ Vậy số $2341$ là số hạng thứ 40 của dãy số đã cho.