Người ta trồng $3003$ cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng $1$ cây, hàng thứ hai trồng $2$ cây, hàng thứ ba trồng $3$ cây, $\dots$, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Tính số hàng cây được trồng.

Lời giải Gọi số cây ở hàng thứ $n$ là $u_n$. Ta có: $u_1 = 1$, $u_2 = 2$, $u_3 = 3$, $\dots$ và $S = u_1 + u_2 + u_3 + \dots + u_n = 3003$. Nhận xét dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng có $u_1 = 1$, công sai $d = 1$. Khi đó: $$ S = \frac{n\Big[ 2u_1 + (n-1)d \Big]}{2} = 3003 $$ Suy ra: $$ \frac{n\Big[ 2 \cdot 1 + (n-1) \cdot 1 \Big]}{2} = 3003 $$ $$ \Leftrightarrow n(n+1) = 6006 $$ $$ \Leftrightarrow n^2 + n - 6006 = 0 $$ $$ \Leftrightarrow n = 77 \text{ (t/m) hoặc } n = -78 \text{ (loại)} $$ $$ \Leftrightarrow n = 77 \quad (\text{vì } n \in \mathbb{N}^*) $$ Vậy số hàng cây được trồng là $77$.