Cho hình lập phương $ ABCD⋅A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } D ^ { ′ } $ có cạnh bằng $ a $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ A ^ { ′ } D ^ { ′ } $ và $ C ^ { ′ } D ^ { ′ } $. Tích vô hướng $ \overset\rightarrow { MN }⋅\overset\rightarrow { C ^ { ′ } B }=na ^ { 2 } $ ($ n $ là số thập phân). Giá trị của $ n $ bằng bao nhiêu?

Vì $ MN//A ^ { ′ } C ^ { ′ } $ nên $ \left ( { \overset\rightarrow { MN },\overset\rightarrow { C ^ { ′ } B } } \right )=\left ( { \overset\rightarrow { A ^ { ′ } C ^ { ′ } },\overset\rightarrow { C ^ { ′ } B } } \right )=180 ^ { ° } - \widehat { A ^ { ′ } C ^ { ′ } B }=120 ^ { ° } $. Ta có: $ MN=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 },C ^ { ′ } B=a\sqrt[] { 2 } $. Suy ra $ \overset\rightarrow { MN }⋅\overset\rightarrow { C ^ { ′ } B }=MN⋅C ^ { ′ } B⋅\cos 120 ^ { ° }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 }⋅a\sqrt[] { 2 }⋅\left ( { -\frac { 1 } { 2 } } \right )=-\frac { 1 } { 2 }a ^ { 2 } $ Vậy $ n=-0,5 $.