(ĐH Sư Phạm-ĐGNL-2020) Một vật chuyển động với hàm số gia tốc là $a(t)$. Biết rằng đồ thị hàm số $a(t)$ trên đoạn $[0; 6]$ được cho như hình dưới đây và vận tốc tại thời điểm $t=0$ là $v(0)=1$ (m/s). Tại thời điểm $t=6$ giây, vận tốc của vật là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải Từ đồ thị ta có $a(t) = \begin{cases} \frac{\sqrt{2}}{2}t & 0 \leq t \leq 2 \\ \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}t + \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2} & 2 \leq t \leq 6 \end{cases}$. Mà $v(0) = 1$ (m/s) nên: $$ v(t) = \int a(t)dt = \begin{cases} \frac{\sqrt{2}}{4}t^2 + 1 & 0 \leq t \leq 2 \\ \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{8}t^2 + \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}t + C & 2 \leq t \leq 6 \end{cases} $$ Vì vận tốc là hàm số liên tục nên: $$ \lim_{t \to 2^-} v(t) = \lim_{t \to 2^+} v(t) \Leftrightarrow \sqrt{2} + 1 = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2} + 3\sqrt{2} - \sqrt{3} + C \Leftrightarrow C = \frac{\sqrt{3}-3\sqrt{2}+2}{2} $$ Do đó: $$ v(6) = 1 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \approx 8,7 \text{ (m/s)}. $$