(THPT Anh Sơn 3 - Nghệ An 2025) Một người nhảy Bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài $ 100m $. Giả sử sau mỗi lần rơi xuống, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ cao bằng $ 75\% $ so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình vẽ minh hoạ bên dưới). Tính tổng độ dài hành trình người đó từ lúc bắt đầu nhảy cho đến lúc dừng hẳn (độ dài tính bằng mét, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đây là bài toán về tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. Ta cần xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân này để tính tổng độ dài hành trình. Bước 1. Xác định số hạng đầu và công bội Số hạng đầu tiên của cấp số nhân là quãng đường rơi đầu tiên, bằng $ u_{ 1 } =100 $m. Công bội là 75%, hay $ q= $0.75, (vì sau mỗi lần rơi xuống, người đó được kéo lên 75% quãng đường rơi trước đó.) Bước 2. Tính tổng độ dài hành trình Phần 1 là độ dài của đoạn rơi xuống Tổng độ dài của hành trình rơi xuống là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $ u_{ 1 } = $ 100 và công bội là $ q= $0.75. Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: $ S_{ 1 } =\frac { u_{ 1 } } { 1-q }=\frac { 100 } { 1-0.75 }=400 $m Phần 2 là độ dài của đoạn được kéo lên Tổng độ dài của hành trình kéo lên là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $ u'_{ 1 } = $ $ 100.0,75=75 $ và công bội là $ q'= $0.75. Ta có $ S_{ 2 } =\frac { u'_{ 1 } } { 1-q' }=\frac { 75 } { 1-0.75 }=300m $ Vậy tổng độ dài hành trình người đó từ lúc bắt đầu nhảy cho đến lúc dừng hẳn là $ 400+300=700 $.