(THPT Nguyễn Khuyến - Lê Thánh Tông 2025) Hệ thống lọc nước bể bơi vô cùng quan trọng khi tiến hành xây dựng công trình bơi lội để nguồn nước được làm sạch thường xuyên và giữ vệ sinh cho người bơi. Trong quá trình vận hành lọc nước thì lượng nước trong bể sẽ thay đổi theo thời gian. Lượng nước trong bể giảm nếu hệ thống đang xả nước bẩn ra khỏi bể và tăng nếu hệ thống đang cấp thêm nước sạch cho bể. Biết rằng $ 1 $ gallon gần bằng $ 3,785 $ lít, dung tích của bể là $ 1000 $ gallon và thời điểm $ 6 $ giờ sáng bể chứa $ 250 $ gallon nước. Hàm số $ f(t) $ biểu thị cho tốc độ thay đổi lượng nước trong bể theo thời gian $ t $ giờ, từ thời điểm $ 6 $ giờ sáng đến $ 6 $ giờ chiều được cho bởi $ f(t)=\left \{ \begin{array}{l} 100t{ m{ } }{ m{} }{ m{} }{ m{} }{ m{} }{ m{ khi} }0\leq t\leq 3 \ 900-200t{ m{khi} }3\leq t\leq 6 \ 100t-900{ m{khi } }{ m{ } }6\leq t\leq 12 \end{array} ight. $với mốc thời gian $ t=0 $ tại thời điểm $ 6 $ giờ sáng. Hỏi ở thời điểm $ 6 $ giờ chiều thì trong bể chứa nhiêu gallon nước ?

Question

(THPT Nguyễn Khuyến - Lê Thánh Tông 2025) Hệ thống lọc nước bể bơi vô cùng quan trọng khi tiến hành xây dựng công trình bơi lội để nguồn nước được làm sạch thường xuyên và giữ vệ sinh cho người bơi. Trong quá trình vận hành lọc nước thì lượng nước trong bể sẽ thay đổi theo thời gian. Lượng nước trong bể giảm nếu hệ thống đang xả nước bẩn ra khỏi bể và tăng nếu hệ thống đang cấp thêm nước sạch cho bể. Biết rằng $ 1 $ gallon gần bằng $ 3,785 $ lít, dung tích của bể là $ 1000 $ gallon và thời điểm $ 6 $ giờ sáng bể chứa $ 250 $ gallon nước. Hàm số $ f(t) $ biểu thị cho tốc độ thay đổi lượng nước trong bể theo thời gian $ t $ giờ, từ thời điểm $ 6 $ giờ sáng đến $ 6 $ giờ chiều được cho bởi $ f(t)=\left \{ \begin{array}{l} 100t{ m{ } }{ m{} }{ m{} }{ m{} }{ m{} }{ m{ khi} }0\leq t\leq 3 \ 900-200t{ m{khi} }3\leq t\leq 6 \ 100t-900{ m{khi } }{ m{ } }6\leq t\leq 12 \end{array} ight. $với mốc thời gian $ t=0 $ tại thời điểm $ 6 $ giờ sáng. Hỏi ở thời điểm $ 6 $ giờ chiều thì trong bể chứa nhiêu gallon nước ?

Beedemy · Accepted Answer

Đáp án chấp nhận: $ 700 $. Lời giải: Đáp án: $ 700 $. +) Gọi $ F\left ( { t } \right ) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { t } \right ) $ Vì $ f\left ( { t } \right ) $ biểu thị cho tốc độ thay đổi lượng nước trong bể theo thời gian $ t $ nên $ F\left ( { t } \right ) $ chính là lượng nước có trong bể theo thời gian $ t $. +) Lượng nước trong bể lúc $ 6 $ giờ sáng (ứng với $ t=0 $) là $ F\left ( { 0 } \right )=250 $. Lượng nước trong bể lúc $ 6 $ giờ chiều (ứng với $ t=12 $) là $ F\left ( { 12 } \right ) $. Ta có $ \int _{ 0 }^{ 12 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=F\left ( { 12 } \right )-F\left ( { 0 } \right )\Rightarrow F\left ( { 12 } \right )=F\left ( { 0 } \right )+\int _{ 0 }^{ 12 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } $ $ \Leftrightarrow F\left ( { 12 } \right )=250+\int _{ 0 }^{ 3 } { 100t\,{ \rm{ d } }t }+\int _{ 3 }^{ 6 } { \left ( { 900-200t } \right ){ \rm{ d } }t }+\int _{ 6 }^{ 12 } { \left ( { 100t-900 } \right ){ \rm{ d } }t }=700 $ gallon.

Cùng dạng: Tích phân