Bài tự luận Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 16

Chọn hệ trục toạ độ $ Oxy $ có trục hoành nằm dọc theo cạnh trên của mặt cắt ngang, trục tung đi qua đỉnh của parabol như hình bên. Khi đó, đường parabol có phương trình dạng $ y=ax ^ { 2 } -2 $ $ (a>0) $.

Theo giả thiết, ta có $ y(1)=0\Leftrightarrow a-2=0\Leftrightarrow a=2 $. Suy ra phương trình của parabol là $ y=2x ^ { 2 } -2 $. Diện tích của phần lòng máng là
$ S=\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { 2-2x ^ { 2 } } \right ) }dx=\left | { \left ( { 2x-\frac { 2x ^ { 3 } } { 3 } } \right ) } \right ._{ -1 } ^{ 1 }=\frac { 8 } { 3 }\left ( {  m ^ { 2 } } \right ) $