Trong mặt phẳng $Oxy$, viết phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ có một tiêu điểm là $F_1(-\sqrt{10}; 0)$ và đi qua điểm $A(4; -\sqrt{2})$.

Lời giải Gọi phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > 0, b > 0$). Vì hypebol có một tiêu điểm là $F_1(-\sqrt{10}; 0)$ nên ta có $c = \sqrt{10} \Rightarrow c^2 = 10$. Mặt khác, mối liên hệ giữa các hệ số là $c^2 = a^2 + b^2 = 10 \Leftrightarrow b^2 = 10 - a^2$ (1). Do hypebol $(H)$ đi qua điểm $A(4; -\sqrt{2})$ nên tọa độ của điểm $A$ phải thỏa mãn phương trình của $(H)$: $\frac{4^2}{a^2} - \frac{(-\sqrt{2})^2}{b^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{16}{a^2} - \frac{2}{b^2} = 1$ (2). Thay (1) vào (2) ta thu được phương trình: $\frac{16}{a^2} - \frac{2}{10 - a^2} = 1 \Leftrightarrow 16(10 - a^2) - 2a^2 = a^2(10 - a^2)$ $\Leftrightarrow 160 - 18a^2 = 10a^2 - a^4 \Leftrightarrow a^4 - 28a^2 + 160 = 0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a^2 = 20 \Rightarrow b^2 = -10 \text{ (loại)} \\\\ a^2 = 8 \Rightarrow b^2 = 2 \text{ (thỏa mãn)} \end{array}\right.$ Vậy phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ là $\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{2} = 1$.