(Sở Kiên Giang 2025) Giả sử giá của một cổ phiếu nào đó (tính bằng euro) trong một ngày nhất định (có 8 giờ giao dịch) được mô tả bởi hàm số: $f(x) = 35,7 \cdot \frac{x+2}{x^{2} + 21}$, với $x \in [0; 8]$, trong đó $x$ là thời gian (tính bằng giờ) kể từ khi phiên giao dịch mở cửa. Nếu một người mua 100 cổ phiếu và bán chúng ngay trong ngày này thì người đó có lợi nhuận tối đa là bao nhiêu euro?

Lời giải Xét hàm $f(x) = 35,7 \cdot \frac{x+2}{x^{2} + 21}$ trên $[0; 8]$. Đạo hàm: $$ f'(x) = 35,7 \cdot \frac{(x^{2}+21) - (x+2)2x}{(x^{2}+21)^{2}} = 35,7 \cdot \frac{-x^{2} - 4x + 21}{(x^{2}+21)^{2}} $$ Giải $f'(x) = 0 \Rightarrow -x^{2} - 4x + 21 = 0 \Rightarrow x = 3$ (loại nghiệm $x = -7$ do $x \geq 0$). Tính giá trị tại các điểm biên và điểm tới hạn: - $f(0) = 35,7 \cdot \frac{2}{21} = 3,4$ - $f(3) = 35,7 \cdot \frac{5}{9+21} = 35,7 \cdot \frac{5}{30} = 5,95$ - $f(8) = 35,7 \cdot \frac{10}{64+21} = 35,7 \cdot \frac{10}{85} = 4,2$ Giá thấp nhất để mua là $3,4$ euro, giá cao nhất để bán là $5,95$ euro. Lợi nhuận tối đa cho 1 cổ phiếu là $5,95 - 3,4 = 2,55$ euro. Với 100 cổ phiếu, lợi nhuận tối đa là $255$ euro.