(Sở Vĩnh Phúc 2025) Một nhà máy $ A $ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $ B $, nhà máy $ A $ chỉ bán sản phẩm cho nhà máy $ B $ và nhà máy $ B $ cam kết thu mua hết số sản phẩm mà nhà máy $ A $ sản xuất được. Nhà máy $ A $ có khả năng sản xuất được tối đa là 200 tấn sản phẩm trong 1 tháng. Nếu bán ra $ x $ tấn sản phẩm cho nhà máy $ B $ thì giá bán mỗi tấn sản phẩm là $ 50-0,0002x ^ { 2 } $ triệu đồng. Trong một tháng nhà máy $ A $ phải chi phí cho nhân công và chi cho khấu hao máy móc một lượng cố định là 150 triệu đồng, ngoài ra khi sản xuất mỗi tấn sản phẩm thì nhà máy phải chi phí thêm cho mua nguyên liệu là 35 triệu đồng. Biết rằng nhà máy $ A $ phải nộp $ 5\% $ doanh thu cho cơ quan thuế. Tính lợi nhuận sau thuế (lợi nhuận sau khi đã trừ tiền thuế) lớn nhất thu được trong 1 tháng của nhà máy $ A $ (đơn vị tính là tỉ đồng và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Doanh thu của nhà máy $ A $khi bán $ x $ $ \left ( { 0 < x\leq 200 } \right ) $ tấn sản phẩm trong 1 tháng là: $ D\left ( { x } \right )=x.\left ( { 50-0,0002x ^ { 2 } } \right ) $. Chi phí cho $ x $ tấn sản phẩm là: $ C\left ( { x } \right )=150+35x $. Tiền thuế phải nộp của nhà máy $ A $ khi bán $ x $ tấn sản phẩm là $ T\left ( { x } \right )=x.\left ( { 50-0,0002x ^ { 2 } } \right ).5\% $. Suy ra lợi nhuận sau thuế của nhà máy $ A $ là: $ L\left ( { x } \right )=D\left ( { x } \right )-C\left ( { x } \right )-T\left ( { x } \right )=x.\left ( { 50-0,0002x ^ { 2 } } \right )-\left ( { 150+35x } \right )-x.\left ( { 50-0,0002x ^ { 2 } } \right ).5\% $. $ ⇒L\left ( { x } \right )=-0,00019x ^ { 3 } +12,5x-150 $. $ L'\left ( { x } \right )=-0,00057x ^ { 2 } +12,5 $. $ L'\left ( { x } \right )=0⇔-0,00057x ^ { 2 } +12,5=0⇔x≈148,09 $ (Vì $ x>0 $). $ L\left ( { 0 } \right )=-150;L\left ( { 148,09 } \right )≈1084,06;L\left ( { 200 } \right )=830 $. Vậy lợi nhuận sau thuế lớn nhất thu được trong 1 tháng của nhà máy $ A $ là $ 1084,06 $ triệu đồng hay $ ≈1,08 $ tỉ đồng.