Trong một trận bóng đá, một cầu thủ hậu vệ A đang có bóng ở phần sân nhà và quyết định chuyền bóng cho tiền đạo B của đội mình. Giả sử tại thời điểm ban đầu $ t=0 $, quả bóng bắt đầu rời chân hậu vệ A, Do đường chuyền bị lỗi nên sau khi chuyền, quả bóng bay lên và chạm mặt sân lần đầu tiên ở giây thứ tư, rồi lại bay lên và chạm mặt sân lần thứ hai ở giây thứ sáu. Độ cao tính bằng mét của quả bóng so với mặt đất ở giây thứ $ t,\,\left ( { 0\leq t\leq 6 } \right ) $ được cho bởi hàm số liên tục $ h\left ( { t } \right )=\left \{ \begin{array}{l} -t ^ { 2 } +at,{ \rm{ \ khi\ } }0\leq t\leq 4 \\ -2t ^ { 2 } +bt+c,{ \rm{ \ khi\ } }4 < t\leq 6 \end{array} \right. $.

a) Đúng. Vì quả bóng bay lên và chạm mặt sân lần đầu tiên ở giây thứ tư, rồi lại bay lên và chạm mặt sân lần thứ hai ở giây thứ sáu nên $ h\left ( { 4 } \right )=h\left ( { 6 } \right )=0 $. b) Sai. Ta có $ h\left ( { 4 } \right )=0⇔-16+4a=0⇔a=4 $. Do hàm số $ h\left ( { t } \right ) $ liên tục trên đoạn $ \left[ 0;6 \right] $ nên $ \lim\limits_{ t\to 4 ^ { - } } h\left ( { t } \right )=\lim\limits_{ t\to 4 ^ { + } } h\left ( { t } \right )=h\left ( { 4 } \right )⇔0=-32+4b+c $ $ ⇔4b+c=32 $ (1). Mặt khác $ h\left ( { 6 } \right )=0⇔-72+6b+c=0⇔6b+c=72 $ (2). Từ (1) và (2) suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} b=20 \\ c=-48 \end{array} \right. $ c) Đúng. Ta có $ h\left ( { t } \right )=\left \{ \begin{array}{l} -t ^ { 2 } +4t,{ \rm{ \ khi\ } }0\leq t\leq 4 \\ -2t ^ { 2 } +20t-48,{ \rm{ \ khi\ } }4 < t\leq 6 \end{array} \right. $ Suy ra $ h'\left ( { t } \right )=\left \{ \begin{array}{l} -2t+4,{ \rm{ \ khi\ } }0\leq t\leq 4 \\ -4t+20,{ \rm{ \ khi\ } }4 < t\leq 6 \end{array} \right. $ Ta có $ h'\left ( { 2 } \right )=-2⋅2+4=0 $ và $ h'\left ( { 5 } \right )=-4⋅5+20=0 $. Suy ra $ h'\left ( { 2 } \right )=h'\left ( { 5 } \right )=0 $. Suy ra c) Đúng. d) Trên $ \left[ 0;4 \right] $, $ h\left ( { t } \right )=-t ^ { 2 } +4t=-\left ( { t-2 } \right ) ^ { 2 } +4 $ đạt giá trị lớn nhất bằng $ 4 $ tại $ t=2 $. Trên $ \left ( { 4;6 } \right] $, $ h\left ( { t } \right )=-2t ^ { 2 } +20t-48=-2\left ( { t-5 } \right ) ^ { 2 } +2 $ đạt giá trị lớn nhất bằng $ 2 $ tại $ t=5 $. So sánh trên $ \left[ 0;6 \right] $, độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt được là $ 4 $ mét, không phải $ 3 $ mét. Suy ra d) Sai.