(THPT Tư Nghĩa 1 - Quảng Ngãi 2025) Trong không gian $ Oxyz $, cho ba điểm $ A\left ( { 1;2;3 } \right ),B\left ( { 0;1;1 } \right ),C\left ( { 1;0;-2 } \right ) $.

a) Sai. Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng ta có $ I\left ( { 1;1;\frac { 1 } { 2 } } \right ) $. b) Sai. Vì các điểm thuộc mặt phẳng $ \left ( { Oxz } \right ) $ thì có tung độ bằng 0 nên chỉ có điểm $ C\left ( { 1;0;-2 } \right )\in \left ( { Oxz } \right ) $ c) Đúng. Giả sử $ I\left ( { x;y;z } \right ) $ sao cho: $ \overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 }⇔\left \{ \begin{array}{l} \left ( { 1-x } \right )+2\left ( { 0-x } \right )+3\left ( { 1-x } \right )=0 \\ \left ( { 2-y } \right )+2\left ( { 1-y } \right )+3\left ( { 0-y } \right )=0 \\ \left ( { 3-z } \right )+2\left ( { 1-z } \right )+3\left ( { -2-z } \right )=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x=\frac { 2 } { 3 } \\ y=\frac { 2 } { 3 } \\ z=-\frac { 1 } { 6 } \end{array} \right. \\ ⇒I\left ( { \frac { 2 } { 3 };\frac { 2 } { 3 };-\frac { 1 } { 6 } } \right ) $. Ta có: $ MA ^ { 2 } +2MB ^ { 2 } +3MC ^ { 2 } \\ =\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA } } \right ) ^ { 2 } +2\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IB } } \right ) ^ { 2 } +3\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IC } } \right ) ^ { 2 } \\ =6MI ^ { 2 } +2\overset\rightarrow { MI }\left ( { \overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC } } \right )+\left ( { IA ^ { 2 } +2IB ^ { 2 } +3IC ^ { 2 } } \right ) \\ =6MI ^ { 2 } +0+\left ( { IA ^ { 2 } +2IB ^ { 2 } +3IC ^ { 2 } } \right ) \\ =6MI ^ { 2 } +\left ( { IA ^ { 2 } +2IB ^ { 2 } +3IC ^ { 2 } } \right ) $ Do đó $ MA ^ { 2 } +2MB ^ { 2 } +3MC ^ { 2 } $ đạt giá trị nhỏ nhất khi $ M $ là hình chiếu của $ I $ trên mặt phẳng $ \left ( { Oxz } \right ) $ hay $ M\left ( { \frac { 2 } { 3 };0;-\frac { 1 } { 6 } } \right ) $. d) Đúng. Ta có: $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { -1;-1;-2 } \right ) \\ \overset\rightarrow { AC }=\left ( { 0;-2;-5 } \right ) \\ ⇒\left[ \overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { AC } \right]=\left ( { 1;-5;2 } \right ) $ Chọn một VTPT của $ \left ( { ABC } \right ) $ là $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 1;-5;2 } \right ) $. Phương trình mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là $ 1\left ( { x-0 } \right )-5\left ( { y-1 } \right )+2\left ( { z-1 } \right )=0⇔x-5y+2z+3=0\left ( { PTTQ } \right ) $.