(Cụm Ninh Giang - Tứ Kỳ - Gia Lộc 2025) Trong không gian với hệ toạ độ $ Oxyz $, cho ba điểm $ A\left ( { 0;1;2 } \right ),{ \rm{ B } }\left ( { -2;1;0 } \right ),{ \rm{ C } }\left ( { 2;-2;1 } \right ). $

a) Sai. Gọi I là trung điểm của đoạn $ BC $thì $ I\left ( { 0;-\frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 2 } } \right ) $, $ { \rm{ } }\overset\rightarrow { BC }=\left ( { 4;-3;1 } \right ) $ Mặt phẳng trung trực của $ BC $ có dạng $ \left ( { Q } \right ):4x-3y+z-2=0 $. $ d_{ \left ( { A;\left ( { Q } \right ) } \right ) } =\frac { 3\sqrt[] { 26 } } { 26 } $. b) Sai. $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { -2;0;-2 } \right )⇒AB:\left \{ \begin{array}{l} x=t \\ y=1 \\ z=2+t \end{array} \right. $ Gọi $ H $ là hình chiếu của $ C $ trên $ AB $; $ K $ là hình chiếu của $ C $ trên $ \left ( { P } \right ) $. Ta có $ d\left ( { C; \left ( { P } \right ) } \right )=CK \leq CH $. Suy ra $ d\left ( { C; \left ( { P } \right ) } \right ) $ lớn nhất khi $ K ≡H $. Vì $ H\in AB $ nên $ H\left ( { t;\,1;\,2+t } \right ) $. Suy ra $ \overset\rightarrow { CH }=\left ( { t-2;\,3;\,t+1 } \right ) $. Vì $ H $ là hình chiếu của $ C $ trên $ AB $ nên $ \overset\rightarrow { CH }.\overset\rightarrow { AB }=0⇔ $ $ -2\left ( { t-2 } \right )-2\left ( { 1+t } \right )=0⇔t=\frac { 1 } { 2 } $. Vậy $ H=\left ( { \frac { 1 } { 2 };\,1;\,\frac { 5 } { 2 } } \right ) $$ ⇒\overset\rightarrow { CH }=\left ( { -\frac { 3 } { 2 };3;\,\frac { 3 } { 2 } } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ qua $ H $ và vuông góc với $ CH $ nên $ \left ( { P } \right ) $ có phương trình $ x-2y-z+4=0 $. c) Đúng. Toạ độ các vecto $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { -2;0;-2 } \right ),{ \rm{ } }\overset\rightarrow { AC }=\left ( { 2;-3;-1 } \right ) $ d) Đúng. Do $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { -2;0;-2 } \right ),{ \rm{ } }\overset\rightarrow { AC }=\left ( { 2;-3;-1 } \right ) $ nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là: $ \overset\rightarrow { n }=\left[ \overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { AC } \right]=\left ( { -6;-6;6 } \right ) $ Do vậy, ptmp $ \left ( { ABC } \right ) $: $ x+y-z+1=0 $