Đúng/Sai · Câu 1
(Sở Hà Nội 2025) Cho hình chóp $ SABCD $ có đáy $ ABCD $là hình chữ nhật và cạnh $ SA $ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết $ AB=1,AD=2, $ và $ SA=3 $. Xét hệ trục toạ độ $ Oxyz $ với $ O $ trùng với $ A $, các tia $ Ox,Oy,Oz $ lần lượt trùng với các tia $ AB,AD,AS $ (như hình vẽ)
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Đúng
Lời giải
a) Đúng. Vì $ AB $ nằm trên tia $ Ox $ và $ AB=1 $ nên $ B\left ( { 1;0;0 } \right ) $ và $ AD $ nằm trên tia $ Oy $ và $ AD=2 $ nên $ D\left ( { 0;2;0 } \right ) $. Do đó $ C\left ( { 1;2;0 } \right ) $
b) Sai. Vì $ AS $ nằm trên tia $ Oz $ và $ AS=3 $ nên $ S\left ( { 0;0;3 } \right ) $
Do đó $ \overset\rightarrow { SC }=\left ( { 1;2;-3 } \right ),\overset\rightarrow { BD }=\left ( { -1;2;0 } \right ) $ và $ \left[ \overset\rightarrow { SC },\overset\rightarrow { BD } \right]=\left ( { 6;3;4 } \right ) $.
c) Đúng. Vì $ \left ( { P } \right ) $ là mặt phẳng chứa đường thẳng $ SC $ và song song với đường thẳng $ BD $ nên $ \left ( { P } \right ) $ là mặt phẳng đi qua $ C\left ( { 1;2;0 } \right ) $ và nhận $ \overset\rightarrow { n }=\left[ \overset\rightarrow { SC },\overset\rightarrow { BD } \right]=\left ( { 6;3;4 } \right ) $ làm vectơ pháp tuyến
Do đó $ 6\left ( { x-1 } \right )+3\left ( { y-2 } \right )+4\left ( { z-0 } \right )=0⇔6x+3y+4z-12=0 $.
d) Đúng. Vì $ BD//\left ( { P } \right ) $ nên $ d\left ( { BD,\left ( { P } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { P } \right ) } \right )=\frac { \left | { 6.1+3.0+4.0-12 } \right | } { \sqrt[] { 6 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } +4 ^ { 2 } } }=\frac { 6 } { 61 } $.