Cho lăng trụ tam giác đều $ ABC.A'B'C' $ có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng $ 2 $. Gọi $ O $ là trung điểm $ BC $. Đặt lăng trụ trong hệ trục toạ độ như hình vẽ, biết đường thẳng $ MN $ ($ M\in A'C;N\in BC' $) là đường vuông góc chung của $ A'C $ và $ BC' $

a) Đúng. Vì $ C\in Ox $ nên $ C\left ( { -1;0;0 } \right ) $. b) Đúng. Ta có $ B\left ( { 1;0;0 } \right ),C\left ( { -1;0;0 } \right ),C'\left ( { -1;0;2 } \right ) $ Vì $ ABC $ là tam giác đều cạnh bằng $ 2 $ nên $ OA=\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 2 }=\sqrt[] { 3 } $ $ A'\left ( { 0;-\sqrt[] { 3 };2 } \right ) $; $ \overset\rightarrow { BC' }\left ( { -2;0;2 } \right ) $; $ \overset\rightarrow { CA' }\left ( { 1;-\sqrt[] { 3 };2 } \right ) $ Vì $ \overset\rightarrow { CM }=m\overset\rightarrow { .CA' } $ nên $ M\left ( { -1+m;-\sqrt[] { 3 }m;2m } \right ) $ Vì $ \overset\rightarrow { BN }=n\overset\rightarrow { .BC' } $ nên $ N\left ( { 1-2n;0;2n } \right ) $ $ ⇒\overset\rightarrow { MN }=\left ( { -m-2n+2;\sqrt[] { 3 }m;2n-2m } \right ) $ Vì đường $ MN $ là đường vuông góc chung của $ A'C $ và $ BC' $ nên $ \left \{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { MN }.\overset\rightarrow { CA' }=0\left ( { 1 } \right ) \\ \overset\rightarrow { MN }.\overset\rightarrow { BC' }=0\left ( { 2 } \right ) \end{array} \right. $ Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ta có $ \left ( { -m-2n+2 } \right )+\sqrt[] { 3 }m.\left ( { -\sqrt[] { 3 } } \right )+\left ( { 2n-2m } \right ).2=0⇔-4m+n+1=0 $ Từ $ \left ( { 2 } \right ) $ta có $ \left ( { -m-2n+2 } \right ).\left ( { -2 } \right )+0+\left ( { 2n-2m } \right ).2=0⇔-m+4n-2=0 $ Giải hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} -4m+n+1=0 \\ -m+4n-2 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} m=\frac { 2 } { 5 } \\ n=\frac { 3 } { 5 } \end{array} \right. $ $ ⇒\frac { BN } { BC' }=\frac { 3 } { 5 } \\ ⇒\frac { NB } { NC' }=\frac { 3 } { 2 } $ c) Đúng. $ A'\left ( { 0;-\sqrt[] { 3 };2 } \right ) $ d) Sai. $ \overset\rightarrow { A'B }=\left ( { 1;\sqrt[] { 3 };-2 } \right ) \\ \overset\rightarrow { A'C }=\left ( { -1;\sqrt[] { 3 };-2 } \right ) $ $ ⇒\overset\rightarrow { n }=\left ( { 0;2;\sqrt[] { 3 } } \right ) $là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ \left ( { A'BC } \right ) $ Mặt phẳng $ \left ( { A'BC } \right ) $đi qua điểm $ B\left ( { 1;0;0 } \right ) $, có vectơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 0;2;\sqrt[] { 3 } } \right ) $, $ \left ( { A'BC } \right ) $ có phương trình là $ 2y+\sqrt[] { 3 }z=0 $