Trong không gian $ Oxyz $, cho hình hộp chữ nhật $ ABCD.A'B'C'D' $ có đỉnh $ A $ trùng với gốc $ O $, các vectơ $ \overset\rightarrow { AB } $, $ \overset\rightarrow { AD } $, $ \overset\rightarrow { AA' } $ theo hướng thứ tự cùng hướng với các vectơ đơn vị $ \overset\rightarrow { i } $, $ \overset\rightarrow { j } $, $ \overset\rightarrow { k } $ và có $ AB=3 $, $ AD=4 $, $ AA'=6 $. Hãy xác định tính đúng sai của mệnh đề sau:

a) Đúng. Ta có: $ A\left ( { 0;0;0 } \right ) $, $ B\in Ax $ và $ AB=3 $ nên $ \overset\rightarrow { AB }=3\overset\rightarrow { i } $, suy ra: toạ độ điểm $ B $ là $ \left ( { 3;0;0 } \right ) $. b) Đúng. Ta có: $ A\left ( { 0;0;0 } \right ) $, $ D\in Ay $ và $ AD=4 $ nên $ \overset\rightarrow { AD }=4\overset\rightarrow { j } $, suy ra: toạ độ điểm $ D $ là $ \left ( { 0;4;0 } \right ) $. c) Sai. Ta có: $ A\left ( { 0;0;0 } \right ) $, $ A'\in Az $ và $ AA'=6 $ nên $ \overset\rightarrow { AD }=6\overset\rightarrow { k } $, suy ra: toạ độ điểm $ A' $ là $ \left ( { 0;0;6 } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { A'BD } \right ) $ đi qua ba điểm $ B\left ( { 3;0;0 } \right ) $, $ D\left ( { 0;4;0 } \right ) $ và $ A'\left ( { 0;0;6 } \right ) $ có phương trình là: $ \frac { x } { 3 }+\frac { y } { 4 }+\frac { z } { 6 }=1 $ d) Đúng. + Từ $ A $, kẻ $ AH⊥BD $ tại $ H $ (1). Nối $ A' $ và $ H $ ta được $ A'H $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} BD⊥AH \\ BD⊥AA' (do AA'⊥\left ( { ABCD } \right )) \end{array} \right. $$ ⇒BD⊥\left ( { A'AH } \right ) $ $ ⇒A'H⊥BD $ (2) Lại có: $ \left ( { A'BD } \right )∩\left ( { ABD } \right )=BD $ (3) Từ (1), (2), (3) $ ⇒\left[ A,BD,A' \right]=\left ( { \left ( { A'BD } \right );\left ( { ABD } \right ) } \right )= \widehat { AHA' } $. + Mặt phẳng $ \left ( { ABD } \right ) $ chính là mặt phẳng $ \left ( { Axy } \right ) $ nên có vectơ pháp tuyến là $ \overset\rightarrow { n_{ 1 } }=\left ( { 0;0;1 } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { A'BD } \right ):\frac { x } { 3 }+\frac { y } { 4 }+\frac { z } { 6 }=1 $ có một vectơ pháp tuyến là $ \overset\rightarrow { n_{ 2 } }=\left ( { \frac { 1 } { 3 };\frac { 1 } { 4 };\frac { 1 } { 6 } } \right ) $ $ ⇒\cos\left ( { \left ( { A'BD } \right );\left ( { ABD } \right ) } \right )=\left | { \cos\left ( { \overset\rightarrow { n_{ 1 } };\overset\rightarrow { n_{ 2 } } } \right ) } \right |=\frac { \left | { 0.\frac { 1 } { 3 }+0.\frac { 1 } { 4 }+1.\frac { 1 } { 6 } } \right | } { \sqrt[] { 0 ^ { 2 } +0 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } }.\sqrt[] { \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { 4 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { 6 } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 2\sqrt[] { 29 } } { 29 } $ $ ⇒\left ( { \left ( { A'BD } \right );\left ( { ABD } \right ) } \right )=\left[ A,BD,A' \right]≈68° $ Vậy số đo của góc nhị diện $ \left[ A,BD,A' \right] $ là $ ≈68° $