Trong không gian với hệ toạ độ $ { \rm{ O } }xyz $, tìm các giá trị thực của m để hai mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):\,x+2y+z-1=0 $ và $ \left ( { Q } \right ):\,3x+\left ( { m-2 } \right )y+\left ( { m ^ { 2 } +2 } \right )z+3=0 $ vuông góc với nhau?

Ta có $ n_{ P } =\left ( { 1;2;1 } \right )\,;\,n_{ Q } =\left ( { 3;m-2;m ^ { 2 } +2 } \right ) $ Để hai mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):\,x+2y+z-1=0 $ và $ \left ( { Q } \right ):\,3x+\left ( { m-2 } \right )y+\left ( { m ^ { 2 } +2 } \right )z+3=0 $ vuông góc với nhau thì $ n_{ P } .n_{ Q } =1.3+2\left ( { m-2 } \right )+1\left ( { m ^ { 2 } +2 } \right )=0⇔m ^ { 2 } +2m+1=0⇔m=-1 $.