Cho hai cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số có 100 số hạng là $ 4,\,\,7,\,\,10,\,\,13,\,\,16,\ldots $và $ 1,\,\,6,\,\,11,\,\,16,\,\,21,\ldots $ Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả hai cấp số cộng trên?

Xét cấp số cộng $ 4,\,\,7,\,\,10,\,\,13,\,\,16,\ldots $Đặt $ u_{ 1 } =4⇒d=3,\,\,u_{ n } =u_{ 1 } +\left ( { n-1 } \right )d=3n+1\left ( { 1≤n≤100,n∈\mathbb{N} } \right ) $. Xét cấp số cộng $ 1,\,\,6,\,\,11,\,\,16,\,\,21,\ldots $Đặt $ v_{ 1 } =1⇒d=5,\,\,v_{ m } =v_{ 1 } +\left ( { m-1 } \right )d=5m-4\left ( { 1≤m≤100,m∈\mathbb{N} } \right ) $. Nếu có số hạng cùng có mặt trong cả hai cấp số, tức là $ 5m-4=3n+1⇔m=\frac { 3n } { 5 }+1 $. Do $ m∈\mathbb{N}⇒\frac { 3n } { 5 }∈\mathbb{N}⇒n\vdots 5⇒n=5k,k∈\mathbb{N} $. Do $ 1≤n≤100,n∈\mathbb{N}⇒1≤5k≤100⇒\frac { 1 } { 5 }≤k≤20⇒k∈\left\{1;2;3;\ldots ;20\right\} $