Cho $\lim_{x \to +\infty} \Big( \frac{x^{2} + 3x + 1}{x + 1} + ax + b \Big) = 1$. Khi đó tính giá trị biểu thức $T = a + b$.

Lời giải Ta có: $$ \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^{2} + 3x + 1}{x + 1} + ax + b \right) = 1 \Leftrightarrow \lim_{x \to +\infty} \frac{(a + 1)x^{2} + (a + b + 3)x + b + 1}{x + 1} = 1 $$ $$ \Leftrightarrow \lim_{x \to +\infty} \frac{(a + 1)x + (a + b + 3) + \frac{b + 1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 1 $$ $$ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a + 1 = 0 \\ a + b + 3 = 1 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a = -1 \\ b = -1 \end{array}\right. $$ $$ \Rightarrow T = a + b = -2 $$