Một vật dao động điều hòa theo phương trình $ x=3\cos\left ( { 2πt+\frac { π } { 4 } } \right )+1 $, với $ t $ tính bằng giây và $ x $ tính bằng centimet. Trong khoảng thời gian $ 3 $giây, gia tốc của vật đạt giá trị lớn nhất bao nhiêu lần ?

Vận tốc tức thời của vật là: $ v\left ( { t } \right )=x'\left ( { t } \right )=-6π\sin\left ( { 2πt+\frac { π } { 4 } } \right ) $. Gia tốc tức thời của vật là: $ a\left ( { t } \right )=v'\left ( { t } \right )=-12π ^ { 2 } \cos\left ( { 2πt+\frac { π } { 4 } } \right ) $ Ta có: $ -1≤\cos\left ( { 2πt+\frac { π } { 4 } } \right )≤1 $, $ ∀t≥0 $. Suy ra$ -12π ^ { 2 } ≤-12π ^ { 2 } \cos\left ( { 2πt+\frac { π } { 4 } } \right )≤12π ^ { 2 } $. Do đó $ -12π ^ { 2 } ≤a\left ( { t } \right )≤12π ^ { 2 } $. Dấu “ $ = $” xảy ra khi $ \cos\left ( { 2πt+\frac { π } { 4 } } \right )=1 $ hoặc $ \cos\left ( { 2πt+\frac { π } { 4 } } \right )=-1 $. Khi đó $ \sin\left ( { 2πt+\frac { π } { 4 } } \right )=0 $, suy ra $ 2πt+\frac { π } { 4 }=kπ $, hay $ t=-\frac { 1 } { 8 }+\frac { k } { 2 }\left ( { k∈\mathbb{N} ^ { * } } \right ) $ (do $ t≥0 $) Do $ 0 < t < 3 $ nên $ 0 < -\frac { 1 } { 8 }+\frac { k } { 2 } < 3 $, suy ra$ \frac { 1 } { 4 } < k < \frac { 25 } { 4 } $. Mà $ k∈\mathbb{N} ^ { * } $ nên $ k∈\left\{1;2;3;4;5;6\right\} $ Vậy trong khoảng thời gian $ 3 $giây, gia tốc của vật đạt giá trị lớn nhất 6 lần