Từ độ cao $ 100m $, người ta thả 1 quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng $ \frac { 1 } { 4 } $ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi $ h_{ n } $ là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. $ h_{ n } =\frac { 25 } { 4 ^ { n } } $. Sai. b. $ \lim\limits_{ n→+∞ } h_{ n } =0 $. Đúng. c. Khi $ n $ càng lớn thì độ cao của quả bóng sau khi nảy đạt được càng nhỏ. Đúng. d. Gọi $ S_{ n } $ là tổng quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả đến khi quả bóng chạm đất lần thứ $ n+1 $. Nếu quá trình này cứ tiếp diễn mãi thì tổng quãng đường quả bóng đi được là $ \frac { 200 } { 3 }m $. Sai. Lời giải: a) Sai. Do $ h_{ n } =\frac { 1 } { 4 }h_{ n-1 } $ nên dãy số $ (h_{ n } ) $ là một cấp số nhân với $ u_{ 1 } =\frac { 1 } { 4 }.100=25;q=\frac { 1 } { 4 } $. Nên $ h_{ n } =25(\frac { 1 } { 4 }) ^ { n-1 } =\frac { 100 } { 4 ^ { n } }. $ b) Đúng. $ \lim\limits_{ n→+∞ } h_{ n } =\lim\limits_{ n→+∞ } \frac { 100 } { 4 ^ { n } }=\lim\limits_{ n→+∞ } 100.(\frac { 1 } { 4 }) ^ { n } =0. $ c) Đúng. Vì khi $ n $ càng lớn thì $ \frac { 100 } { 4 ^ { n } } $ càng nhỏ. d) Sai. Tổng quãng đường quả bóng đi được sau lần quả bóng chạm đất lần thứ $ n+1 $ là $ S_{ n } =100+2(\frac { 100 } { 4 }+\frac { 100 } { 4 ^ { 2 } }+...+\frac { 100 } { 4 ^ { n } }) $. Nếu quá trình bóng nảy tiếp diễn mãi, thì tổng quãng đường đi được là: $ S_{ n } =100+2(\frac { 100 } { 4 }+\frac { 100 } { 4 ^ { 2 } }+...+\frac { 100 } { 4 ^ { n } }+...)=100+2.\frac { \frac { 100 } { 4 } } { 1-\frac { 1 } { 4 } }=\frac { 500 } { 3 }m $

Cùng dạng: Quy tắc tính giới hạn dãy số (tổng, tích, thương)